Теорема Нётер для зависящего от времени нециклического лагранжиана

Question

Теорема Нётер для зависящего от времени нециклического лагранжиана

рсааведра

Меня просят найти симметрии и сохраняющиеся величины для системы со следующим лагранжианом:

л "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - а ф (т) д,

$\mathscr{L}=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-af(t)q,$

где $a$ некоторая постоянная и $f(t)$ — произвольная (но интегрируемая) функция времени.

Я нахожу эту проблему нетривиальной, потому что лагранжиан не имеет циклических координат и является функцией времени, поэтому ни сопряженный импульс $p$ или энергия $E$ являются сохраняющимися величинами.

Я продолжаю пытаться найти некоторую симметрию, такую, что $\delta\mathscr{L}=dg/dt$ (или, может быть $=0$ , идея состоит в том, что это условие таково, что уравнения Эйлера-Лагранжа, полученные с помощью вариационного принципа, остаются инвариантными). Тогда, применяя теорему Нётер , сохраняющаяся величина будет:

С "=" (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} \dot{д} - л) дельта т - \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д - г,

$C=\bigg(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\dot{q}-\mathscr{L}\bigg)\delta{t}-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\delta{q}-g,$

где $g$ может быть, а может и не быть равным нулю. Итак, для рассматриваемого лагранжиана:

\begin{aligned} дельта л & "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта \dot{д} + \frac{\partial л}{\partial д} дельта д + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т \\ "=" (м \dot{д}) дельта \dot{д} + (- а ф (т)) дельта д + (- а \frac{\partial ф}{\partial т} д) дельта т \end{aligned}

$\begin{align}\delta\mathscr{L}&=\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q}\delta q+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}\delta t\\ &=(m\dot{q})\delta\dot{q}+(-af(t))\delta q+(-a\frac{\partial f}{\partial t}q)\delta t\end{align}$

Проблема здесь в том, что я не могу придумать никакой симметрии, которая удовлетворяла бы условию Нётер. Есть ли какой-нибудь другой тест, который может дать мне правильную симметрию? Или, может быть, я могу узнать сохраняющиеся величины, глядя на форму лагранжиана, но у меня нет интуиции?

Ответы (2)

Теорема Нётер для зависящего от времени нециклического лагранжиана

СпецМ · Answer 1

Сохраняющаяся величина, которую получил Фротаур, не исходит из симметрии. Способ ее получения следующий. Рассмотрим преобразование координат:

д \to д + ϵ

$q \rightarrow q + \epsilon$ Преобразованный лангранжиан:

л^{'} (д + ϵ, \dot{д}) "=" \frac{1}{2} м \dot{д} - а ф (т) д - а ф (т) ϵ "=" л (д) - а ф (т) ϵ

$L'(q+\epsilon,\dot{q})=\dfrac{1}{2}m\dot{q}-af(t)q - af(t)\epsilon=L(q)-af(t)\epsilon$ Взяв производную по

ϵ

$\epsilon$ в

ϵ = 0

$\epsilon=0$ у нас есть :

\frac{г л^{'}}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} "=" - а ф (т)

$\dfrac{dL'}{d\epsilon}\Bigr|_{\epsilon=0}=-af(t)$ Немного поработав, вы можете показать из теоремы Тейлора и уравнений Эйлера-Лагранжа, что в общем семействе преобразований

д \to д + ϵ К (д, \dot{д})

$q\rightarrow q + \epsilon K(q,\dot{q})$ Вы получаете:

\frac{г л^{'}}{г ϵ} |_{ϵ "=" 0} "=" \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} К (д, \dot{д}))

$\dfrac{dL'}{d\epsilon}\Bigr|_{\epsilon=0}=\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}K(q,\dot{q})\right)$ В нашем случае

K (q, \dot{q}) = 1

$K(q,\dot{q})=1$ поэтому мы получаем окончательный результат, который получил Фротаур:

\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}}) "=" - а ф (т)

$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=-af(t)$

м \dot{д} "=" - а \int ф (т) + С

$m\dot{q}=-a\int f(t) +C$

Фротаур · Answer 2

Если вы попытаетесь наивно не искать симметрии, а вместо этого написать уравнение Эйлера-Лагранжа, вы найдете:

$m\ddot{q}=-af(t)$

Интегрируя, вы получаете сохраняющуюся величину:

$m\dot{q}+a\int f(t)=C$

Пока не уверен, какой симметрии он соответствует, но думаю, что его можно реконструировать.

Спасибо. Из формализма Гамильтона я могу получить соответствующие симметрии, используя скобочную формулировку, $(\delta q=\epsilon,\delta p=0)$ . Но я не вижу, как восстановить соответствующую сохраняющуюся величину при вставке симметрии в $\delta\mathscr{L}$ .

Теорема Нётер для зависящего от времени нециклического лагранжиана

рсааведра

Ответы (2)

СпецМ

Фротаур

рсааведра

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

Константы движения попарно взаимодействующей системы NNN-частиц

Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Лагранжев первый интеграл

Нётеровый ток поля Дирака при перемещении пространства-времени [закрыто]

Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

Сохраняющиеся токи в теореме Нётер с переменным параметром

Сохраняющийся ток в комплексном релятивистском скалярном поле