Сохраняющиеся токи в теореме Нётер с переменным параметром

У меня непрерывная трансформация на поле$\phi$формы

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x),\tag{1}$$

где$\alpha$является постоянным бесконечно малым параметром и$\Delta\phi$является деформацией поля. Обратите внимание, что в этих обозначениях (Пескина и Шредера)$\delta\phi=\alpha\Delta\phi$

Чтобы иметь симметрию, мое действие должно быть инвариантным с точностью до поверхностного члена, поэтому мой лагранжиан должен быть инвариантным с точностью до 4-дивергенции:

$$\begin{equation} \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}+\alpha\partial_\mu J^\mu.\tag{2} \end{equation}$$

Теперь продолжаем варьировать лагранжиан:

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)=\alpha\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\Delta\phi+\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)-\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Big)\Delta\phi.\tag{3} \end{equation}$$

Теперь первый и третий члены сокращаются из-за уравнений Эйлера-Лагранжа.

Если я хочу удовлетворить свою симметрию, только что вычисленная мной вариация должна быть равна 4-дивергенции:

$$\begin{equation} \alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)=\alpha\partial_\mu J^\mu \rightarrow \alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-J^\mu\Big)=0 .\tag{4} \end{equation}$$

Таким образом, количество

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-J^\mu\tag{5}$$ сохраняется.

И это мне достаточно ясно. А вдруг$\alpha=\alpha(x)$?

$\textbf{My attempt}$:

С$\alpha$является функцией$x$, количество$\partial_\mu(\delta\phi)=\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)$становится$\Delta\phi\partial_\mu \alpha+\alpha\partial_\mu \Delta\phi$

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\alpha\Delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\partial_\mu \alpha+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\alpha\partial_\mu \Delta\phi.\tag{6} \end{equation}$$

Первое и третье слагаемые дают начало слагаемому$\alpha\Delta\mathcal{L}$, точно так же, как тот, который мы получаем с константой$\alpha$.

И отсюда мои идеи начинают становиться нечеткими.

Итак, мои действия менялись, например:

$$\delta S=\int d^4x\Big(\alpha\Delta\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\partial_\mu \alpha\Big)=\int d^4x\Big(\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi(\partial_\mu \alpha)\Big)$$ $$=\int d^4x \partial_\mu \Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\alpha\Big).\tag{7}$$

Теперь, если у меня есть симметрия, мое действие инвариантно с точностью до граничного члена, следовательно, интеграл от$\alpha\partial_\mu J^\mu$. Таким образом, я получаю тот же результат, что и сохраняемый ток$j^\mu$.

$\textbf{My question}$:

В заметках Тонга ( http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/one.pdf ) на странице 19 представлен совершенно другой подход. Он говорит, что лагранжиан меняется как

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=(\partial_\mu \alpha)h^\mu\tag{8} \end{equation}$$ где $h^\mu$- сохраняющийся ток. Используя мои обозначения, я предполагаю, что это верно только для случаев, когда $\delta\mathcal{L}=0$для $\alpha$= const, поэтому для $J^\mu=0$.

Но Мой профессор, а также некоторые другие заметки говорят, что, поскольку

$$\begin{equation} \delta S=\int d^4x(\partial_\mu \alpha) h^\mu\tag{9} \end{equation}$$

если я хочу найти сохраняющийся ток, все, что мне нужно сделать, это изменить лагранжиан, который мне дан, предполагая$\alpha=\alpha(x)$а затем просто найдите количество «рядом с»$\partial_\mu \alpha$. Разве это не верно только для тех случаев, когда

$$\delta\mathcal{L}=0\quad\text{for}\quad \alpha=\text{const}? \tag{10}$$

Он ничего не сказал об этом, предполагая, что это самый общий случай.