Уникальность определения тока Нётер

На странице 28 книги Пьера Рамона «Теория поля — современный учебник для начинающих» написано следующее:

«заметим, что сохраняющийся ток не имеет однозначного определения, поскольку мы всегда можем добавить к нему четырехдиверсионность антисимметричного тензора [...] Также, поскольку Дж [ток Нётер] сохраняется только после использования уравнений движения, мы имеем право добавлять к нему любую величину, которая обращается в нуль в силу уравнений движения».

Я не понимаю, что он имеет в виду, говоря, что любая величина исчезает в силу уравнений движения .

Хороший пример этого можно увидеть при сравнении гильбертовой и нётеровской форм тензора напряжений.

Ответы (2)

В первой теореме Нётер уравнение неразрывности 1

(*) д мю Дж мю   ≈   0
является уравнением на оболочке , т. е. выполняется, если EOM [= уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) ] удовлетворены. Он не обязательно держится вне оболочки.

Следовательно, мы можем изменить ток Нётер Дж мю с

  1. термины, которые исчезают в оболочке, и/или

  2. условия формы д ν А ν мю , где А ν мю "=" − А мю ν является антисимметричным тензором,

без нарушения непрерывности ур. (*).

--

1 The ≈ символ означает равенство по модулю EOM.

@Qmechanic Я заметил, что вы поставили полную производную на Дж мю и ∂ мю А мю ν термин, так что это д мю Дж мю и д ν А ν мю Это намеренно?
@joseph h: Да, д мю является общей, а не явной пространственно-временной производной, ср. например, этот пост Phys.SE.
Очень хороший. Тогда неаккуратная нотация повсюду! Спасибо.

Могу привести пример:

С "=" ∫ д т ( Икс ˙ + Икс ˙ − − Икс + Икс − )

имеет сохраняющийся ток, связанный с Икс ± → е ± р Икс ± данный

Дж "=" Икс + Икс ˙ − − Икс − Икс ˙ +

Это означает, что указанный выше ток будет сохраняться, если уравнения движения выполняются. Теперь, если мы добавим к этому току термин вида Икс ¨ + + Икс + утверждение по-прежнему будет верным, т. е. ток по-прежнему будет сохраняться. Это связано с тем, что этот термин, который я добавил, и есть уравнения движения.

Если я не ошибаюсь, никакой ток не является функцией только пространственно-временных координат. В приведенном вами примере это означает, что ток является только функцией времени, поэтому вклад уравнения движения будет нулевым.
Вы можете добавить больше измерений, если хотите. Ток при d=0+1 задается только функцией времени, поскольку для распространения есть только время. Я выбираю этот случай, потому что он проще и отражает вопрос. Идея очень проста: если вы добавляете к току вещи, которые исчезают, когда уравнения движения удовлетворяются, вы на самом деле добавляете нули к закону сохранения, поскольку сохранение верно только тогда, когда удовлетворяются уравнения движения.
Между прочим, такая же симметрия обнаруживается, хотя и по несколько иным причинам, в призрачном секторе FP.
@JG Я думаю, что эта симметрия проявляется повсюду. Это симметрия U (1).
Уникальность определения тока Нётер
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v