Угловой момент относительно движущейся оси

Угловой момент - это вектор, определяемый формулой

$$\vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$$ где $I_{cm}$представляет собой массовый момент инерции 3 × 3 относительно центра масс. Когда вектор скорости вращения $\omega$находится около одной из главных осей инерции , то вектор углового момента параллелен оси движения и $\vec{L}_{cm} =m \rho^2 \vec{\omega}$где $m$- скалярная масса, и $\rho$- скалярный радиус вращения вокруг этой оси.

Если тело не вращается с$\vec{\omega}=\vec{0}$тогда у него не будет углового момента (у него все еще может быть линейный импульс$\vec{p} = m \vec{v}_{cm}$).

Я действительно не понимаю вашего вопроса, так как мы не решаем, какая ось определяет угловой момент. Оно вытекает из движения и инерционных свойств тела. Сохранение углового момента утверждает, что когда чистые крутящие моменты относительно центра масс равны нулю, вектор углового момента не изменяется.

Это следствие закона вращательного движения.

$$\sum \vec{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}_{cm}$$

Кроме того, чтобы определить угловой момент относительно любой другой точки A , скажем, расположенной$\vec{r}_A$вдали от центра масс вы должны также учитывать момент импульса

$$\vec{L}_A = \vec{L}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{p}$$

Поскольку линейная скорость преобразуется аналогичным образом

$$\vec{v}_A = \vec{v}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{\omega}$$

можно установить векторы импульса относительно любой произвольной точки А как функцию движения этой точки

$$\begin{align} \vec{p} & = m ( \vec{v}_A + \vec{r}_A \times \vec{\omega} )\\ \vec{L}_A & = I_{cm} \vec{\omega} - \vec{r}_A \times \vec{p} \end{align}$$

Это важно, потому что оно используется для установления уравнений движения твердых тел относительно точек, удаленных от центра масс. Смотрите этот ответ ( Вывод уравнений движения Ньютона-Эйлера ) для более подробной информации.

Угловой момент$L$объекта всегда определяется относительно оси, вокруг которой происходит вращение:

$$L=I\omega,$$

где$I$инерционный момент и$\omega$угловая скорость .

Момент инерции определен и может быть рассчитан, как показано здесь . Где необходимо рассчитать$I$относительно другой оси, параллельной первой, можно использовать теорему о параллельных осях .

Теперь что касается углового момента, аналогичного линейному импульсу, это сохраняющаяся величина. Чтобы изменить линейный импульс, необходимо приложить силу, а чтобы изменить угловой момент, необходимо приложить крутящий момент (момент, пара [син.]) .

Как мы можем определить угловой момент системы относительно оси, которая движется параллельно самой себе? Например, ось, проходящая через ЦМ, перпендикулярна плоскости тела.

Я не уверен, что правильно понял ваш вопрос. Угловой момент всегда определяется относительно оси вращения. Если эта ось сама перемещается, объект будет иметь как угловой момент,$I\omega$ И линейный импульс$mv$($v$линейная скорость этой оси).

Посмотрите на диаграмму ниже:

Слева объект вращается вокруг оси с постоянной$\omega$: чистое вращение.

Правильно, объект вращается вокруг оси с постоянной$\omega$а ось движется параллельно самой себе со скоростью$v$: у нас одновременно происходит вращение и перевод.

В обоих случаях угловой момент абсолютно одинаков, но правый объект также имеет линейный импульс.

Полная кинетическая энергия тела будет$K$:

$$K=\frac{I\omega^2}{2}+\frac{mv^2}{2}.$$

Когда мы говорим о сохранении количества движения, значит ли это, что угловой момент относительно конкретной фиксированной оси остается неизменным, или мы можем доказать это и для оси, которая движется параллельно?

Да. Даже если эта ось движется, угловой момент сохраняется до тех пор, пока на объект не подействует крутящий момент, чтобы изменить его угловую скорость.$\omega$.

Примером может служить цилиндр, катящийся по гладкому склону: при достаточном трении и угловой, и линейный импульс будут изменяться, поскольку трение создает пару$\sigma$изменить$\omega$.

Например, если диск свободно падает. Можем ли мы сказать, что угловой момент относительно оси, проходящей через СМ и перпендикулярной диску, останется прежним? Как мы можем это сказать?

Пока никакая пара не действует на вращающийся диск, его угловая скорость и, следовательно, его угловой момент$L=I\omega$не изменится.