Уравнение Лагранжа для импульсных сил

Это рассуждение правильное, но также необходимо доказать, что второй интеграл LHS равен нулю.

Если примитив$f$частной производной$\frac{\partial L}{\partial q}$, т.е. _$\frac{df}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q}$не удовлетворил$f_{i}=f_{f}$, то второй интеграл LHS не будет равен нулю.

Поскольку предполагается, что импульсивные силы вызывают лишь непостоянное изменение обобщенных скоростей за бесконечно малое время$\Delta t$, а не в обобщенных координатах, то$\frac{\partial L}{\partial q}$остается непрерывным, если неимпульсные силы зависят только от пространства.

Так обстоит дело в этом конкретном примере двух бильярдных шаров в плоскости xy . $x_{i}$и$y_{i}$координаты не ограничены и являются обобщенными координатами$q_{i}$также. Таким образом, отношение

действительно, где$\tilde{F}_{i}$- зависящая от пространства неимпульсная сила.

Обратите внимание, что бильярдные шары не имеют отношения к задаче. Если бы на шары действовала сила, зависящая от скорости, или если бы кинетическая энергия зависела еще и от пространственных координат$q_{i}$, то этот результат не будет верным, так как второй интеграл LHS может быть отличным от нуля. Например, этот результат недействителен для двух сталкивающихся маятников, поскольку кинетическая энергия$T = m/2 (\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})$явно зависит от обобщенной координаты$r$. Физически это означает, что сразу после столкновения происходит непостоянное изменение натяжения безмассового стержня, поддерживающего массу.