В чем разница (если она есть) между понятиями натуральных чисел и конечных кардиналов?

Справедливо сказать, что понятия «эквивалентны» в современной математической практике. Однако у них разная история и разный смысловой смысл. Представление о натуральных или счетных числах восходит (официально) к пифагорейцам, а неофициально к доисторическим временам. Кости Ишанго , счетному артефакту, 20 000 лет. Мы имеем дело с расплывчатой ​​концепцией, импортированной в математику из естественного языка после столетий практического, а затем более абстрактного использования. В то время как в одном смысле кардиналы обобщают натуральные числа, в другом смысле они представляют собой гораздо более узкое, техническое и связанное с контекстом понятие.

Понятие «количественное число» или «количество элементов» (даже конечное) появилось гораздо позже, это один из способов сделать обыденное понятие более точным для математического использования, которому отдает предпочтение современная формализация математики. Понятие было введено грамматиками в 1590-х годах для различения счетных числительных (один, два, три) и порядковых числительных (первое, второе, третье), так называемых ординалов .. Но их современная математическая жизнь начинается в конце 19 века в теории множеств Кантора, которая привнесла различие и сделала его еще более техническим. Кантор заменил элементарное понятие числа производным и абстрактным, основанным на множествах (чего бы это ни стоило, неформальная концепция счета ближе к его ординалам, чем к его кардиналам, понятия эквивалентны по объему в конечном случае, но расходятся). драматично для бесконечностей). Два множества равноправны, если им можно поставить взаимно однозначное соответствие (теперь это называется принципом Юма).), а кардинальное число множества — это что-то вроде класса эквивалентности всех равносильных ему множеств, по крайней мере, так хотел сказать Кантор. Оказалось, что это имеет технические проблемы, и теперь предпочтительны более «конкретные» определения, которые идентифицируют его с одним из очень специально сгенерированных наборов, таких как ∅, {∅}, {{∅}},... или ∅, {∅ },{∅,{∅}},... , см. Теоретико-множественное определение натуральных чисел .

Эта множественная реализуемость уже является проблемой для философов, мы хотели бы думать, что существует уникальное понятие «два», выраженное как 2 или {{∅}} или {∅,{∅}}, но теория множеств может предоставить только нам произвольно выбранный токен для него. Это приводит к популярности математического структурализма , философской позиции, что это не то, чтоэто то, что делает 2 2, но только его место в структуре, в данном случае в структуре ряда счетных чисел, описанного аксиомами Пеано. Арифметика Пеано уже показывает, что натуральные числа, в отличие от кардиналов, можно отделить от теории множеств, поскольку они от нее не зависят. Как и теория категорий, у которой есть свои версии натуральных чисел. Даже в рамках теории множеств понятие «конечный кардинал» может отделиться от понятия натурального числа, если мы поиграем с аксиомами. Например, Дедекинд определил «конечные кардиналы» как эквиваленты тех множеств, которые не могут быть поставлены в биективное соответствие своим собственным подмножествам. Что ж, Рассел и Уайтхед показали в 1912 году, что конечные кардиналы Дедекинда могут быть бесконечными.(по обычной концепции) в теории множеств без аксиомы выбора, так называемой ZF или других альтернативных теорий множеств. Интуитивно это происходит потому, что в этих моделях теории множеств недостаточно биекций, чтобы «обнаружить» бесконечность способом Дедекинда.

Теория множеств Кантора и даже принцип Юма, на котором она основана, были исторически спорными и не лишенными альтернатив, см. Измерение размера бесконечных наборов натуральных чисел: была ли теория бесконечного числа Кантора неизбежной? по Манкосу . Если математики однажды решат, что они предпочитают категориальную или какую-либо другую формализацию математики теоретико-множественной, понятие количественного числа может исчезнуть, но мы можем быть уверены, что натуральные числа все еще будут существовать.

Если два разных имени используются для описания чего-то похожего, полезно сохранить различия, поскольку они могут привести к интересным выводам, а также к способам оправдать любое несогласие с выводами.

Возьмем натуральное число 3. Мы можем добавить 3 к некоторым другим натуральным числам и получить результат, который снова будет натуральным числом. Сложение не зависит ни от чего, кроме этих натуральных чисел.

Возьмите кардинальное число 3 как свойство, скажем, количества стульев вокруг определенного стола. Назовите это свойство HowMany. Хотя эту цифру 3 можно рассматривать как объект в наборе количественных чисел, в данном конкретном примере она также является значением свойства HowMany другого объекта — стульев вокруг стола. Можем ли мы сложить или умножить это 3 на любое другое кардинальное число, как мы сделали с натуральными числами выше? Нет. Чтобы изменить значение свойства HowMany стульев вокруг стола, мы должны изменить количество стульев вокруг стола.

В «Знании чисел» Маркуса Джакинто он хочет показать, что нам не нужен сверхъестественный способ восприятия чисел, показывая, что мы можем знать их естественным образом. Я могу себе представить, что это сделать непросто, но проще всего начать с количественных чисел, рассматриваемых как значения свойств HowMany природных объектов.

Джакинто прав? Обращая внимание на различия, которые он делает, полезно прийти к выводу, так или иначе.