В чем разница между порядковым числом и количественным числом?

Это два разных подхода к пониманию понятия бесконечности. (Их можно использовать и для конечных величин, но в этом случае они совпадают, так что это немного скучно.) Существуют и другие подходы, но они, как правило, являются производными понятиями, по крайней мере, от одного из понятий мощности или порядкового числа.

Эти две концепции различаются, когда речь идет о бесконечных наборах, и иллюстрирует, почему важно учитывать, какие структуры вы хотите распознать как разные, чтобы эти различия сохранялись на протяжении всего анализа, когда вы хотите рассматривать такие концепции, как бесконечность, в математика.

О кардиналах и ординалах

Кардиналы описывают понятие размера . То есть: сколько существует объектов определенного типа? В этом отношении кардиналы являются обобщением целых чисел: 0, 1, 2 и т. д. Они являются подходящим способом описания размера множества. Как указывает Мозибур, мы делаем это, сопоставляя элементы набора, который мы хотим измерить, с другим набором. (Это именно то, что мы делаем, когда считаем: когда вы произносите «один», «два», «три», «четыре» и так далее, вы даете каждому из элементов, которые вы считаете, временное имя, соответствующее элементу. с именем числа, чтобы узнать, какое кардинальное число описывает размер множества. Для бесконечных множеств мы также применяем эту идею сопоставления элементов множества с элементами кардинального числа.)

Порядковые числа описывают понятие последовательности: не только размер, но и порядок. Они описывают очень специфический вид упорядочения, известный как правильный порядок : определяющим свойством которого является то, что для любого набора элементов их можно расположить в строгом порядке, причем один из них будет первым. — Обратите внимание, что это свойство не выполняется для всех упорядоченных множеств: например, нет наименьшего действительного числа в интервале (0,1) или среди отрицательных целых чисел {..., -3, -2, -1} , но правильные порядки — это очень естественный способ упорядочивания дискретных наборов для многих приложений, и он имеет тенденцию апеллировать к человеческому понятию упорядочения событий с причинами и следствиями.

Если вы упорядочиваете конечные целые числа, вы получаете правильный порядок. Итак, те, кто любит исследовать основы математики с помощью теории множеств, обычно используют одну и ту же конструкцию для построения как конечных ординалов, так и конечных кардиналов. Вы можете увидеть, как некоторые люди описывают количественные числа с помощью 1, 2, 3, ... и отличают их от порядковых, записывая порядковые числа как 1 ^-й , 2 - ^й , 3 - ^й и т. д.; однако обычная математическая конструкция для обоих состоит в том, чтобы определить

• 0 := ∅ — пустое множество;

• 1 := {0} = {∅} = 0 ∪ {0};

• 2 := {0,1} = {∅, {∅}} = 1 ∪ {1};

• 3 := {0,1,2} = 2 ∪ {2};

и так далее. Для каждого ординала α мы определяем α+1 := α ∪ {α}. Там, где кардиналы выражают размер множества, например {a,b,c}, порядковые числа описывают тип порядка последовательности, например (a,b,c). Однако это становится важным только тогда, когда у вас есть бесконечно длинные последовательности.

О первых нескольких бесконечных ординалах

Чтобы проиллюстрировать, какова цель ординалов в изучении бесконечного, я должен сначала представить вам несколько-бесконечное их количество.

Мы упорядочиваем ординалы, говоря, что α < β тогда и только тогда, когда α ∈ β. Это важно, когда мы начинаем говорить о бесконечных ординалах. Первый бесконечный ординал получается при рассмотрении множества всех конечных ординалов. Он описывает последовательность элементов, которые хорошо упорядочены, но не имеют конечного элемента: (0,1,2,...). Мы называем этот ординал ω. Затем мы определяем следующий по величине ординал как ω+1 := ω ∪ {ω}, как и раньше: это описывает порядок (0,1,2,...,ω), где бесконечное число элементов скрывается в эллипсы, но там, где нет «элемента, который стоит непосредственно перед ω»; любой последовательный набор элементов, который содержит ω и некоторые элементы, предшествующие ему, должен иметь бесконечно много элементов. Это просто результат определения ω. Это то, что известно как предельный порядковый номер: он приходит в конце бесконечной последовательности элементов, ведущих к нему, ставя шапку на вершине бесконечной подпоследовательности. Мы получаем другие предельные ординалы, накладывая на него бесконечно много других ординалов: у нас есть ω+2 := (ω+1) ∪ {ω+1}, и мы можем определить ω+3, ω+4 и т. д . таким же образом, пока мы не сможем определить

      2ω := {0,1,2,3...,ω,ω+1,ω+2,ω+3,...} = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ ... ∪ ω ∪ (ω+1 ) ∪ (ω+2) ∪ ...

как набор всех ординалов до ω, а затем снова полученный из ω с приращением. Тогда мы можем определить 2ω+1, 2ω+2 и т. д. до 3ω; и так далее до бесконечности. Затем мы получаем еще один предельный порядковый номер,

      ω ² := 0 ∪ ω ∪ 2ω ∪ 3ω ∪ 4ω ∪ ...

аналогично тому, как определяются предельные ординалы ω, 2ω и т. д. (Обычно мы также включали бы в объединение 1, 2, 3, ω+1, ω+2, 2ω+1 и т. д., но я пытаюсь просто набросать конструкцию.) Это позволило бы нам окончательно определить ординалы, такие как ω ² +3ω+7, повторив тот же процесс, что и раньше, для ординалов 2ω, 3ω и т. д . .

Затем мы переходим к определению 2ω ² как предела всех ординалов, полученных добавлением комбинаций ω и конечных целых чисел к ω ² ; и тогда мы можем прийти к определению 3ω ² и 4ω ² ; и в конце концов нам может прийти в голову идея определить ω ³ как предел всех ординалов, включающих комбинации ω ² , ω и конечных целых чисел. Мы можем продолжать определять ω ⁴ и ω ⁵ , пока, в конце концов, после бесконечного числа итераций мы не перейдем к определению ω ^ω , ω ^ω+1 , ω ^{ω+2 ,} ω ^2ω , и этот процесс никогда не остановится.

Что делают все эти порядковые номера, так это улавливают понятия порядка. Каждый новый порядковый номер, который мы определяем, расширяет предыдущие.

Причина, по которой это важно, заключается в том, что они вообще не фиксируют никакой разницы в размерах — после ω все порядковые числа, которые я описал вам до сих пор, имеют точно такое же количество элементов , когда мы описываем размер множество по мощности. Порядковые числа явно отражают много информации о структуре, поскольку существует множество предельных порядковых номеров, которые появляются только после бесконечно длинных последовательностей последовательных итераций, например, как 8ω ² +3ω появляется только после всей последовательности 8ω ² +2ω+1, 8ω ² +2ω+2, 8ω ²+2ω+3, ... но если вы позволите себе рассмотреть способы сопоставления элементов таким образом, чтобы не сохранять порядок элементов, вы можете сопоставить элементы всех этих «многочленов» от ω друг с другом .

• Например, вы можете сопоставить ω = {0,1,2,...} с ω+1 = {0,1,2,...,ω} путем сопоставления 0 ⇒ ω, 1 ⇒ 0, 2 ⇒ 1 и так далее.

• Вы можете сопоставить элементы ω ² с элементами ω по формуле aω+b ⇒ a+(a+b)(a+b+1)/2.

Более сложные формулы позволяют произвести взаимно однозначное соответствие любого из этих первых нескольких бесконечных ординалов с ω; но в то же время они дают представление о размере, при котором кажется, что они должны отличаться друг от друга. То есть порядковые номера обеспечивают понятие дополнительной структуры . Они описывают множество различных способов, которыми одно и то же количество элементов может быть помещено в различные виды порядка , описываемого структурой пределов в пределах этого порядка — способы, которыми бесконечные участки приращений накапливаются в элементе, который завершает эти приращения.

То, что мы подразумеваем под размером, зависит от того, что мы хотим от структуры

Бесконечности в математике — печально известный источник нелогичных результатов. Причина в том, что наша интуиция построена на структуре; а кардинальность — самое примитивное понятие «размера» коллекции — игнорирует многие формы структуры, которые мы считаем важными.

• Галилей возмутился идеей, что периметр большего круга имеет то же количество точек, что и периметр меньшего круга . (Он также, возможно, первый европеец, отметивший тот факт, что бесконечные множества целых чисел могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с собственными подмножествами .) Его возражение в конечном счете можно свести к тому факту, что его интересовала мера ; где отрезки линии имели длину, а отдельные элементы в наборе добавляли конечную (но не пренебрежимо малую) степень к размеру набора, тогда как взаимно-однозначные соответствия не сохраняют такие понятия меры системы или аддитивности частей. (Печально известный парадокс Банаха-Тарского является примером именно такого результата, возникающего из-за отсутствия сохранения меры подсистем.)

• Большинство людей сначала отказываются от идеи, что на плоскости столько же точек, сколько точек на прямой. (Взаимооднозначное соответствие между рациональными числами и целыми числами или между ω ² и ω, как описано выше, относится к тому же типу.) Это происходит из-за интуитивного понятия размерности ; плоскость просто имеет больше измерений, чем линия, так что линия не только укладывается в плоскость, но и делает это бесконечно много раз . Этот геометрический тип информации, однако, также является чем-то, что не должно учитываться при сопоставлении один к одному.

Это показывает, что при рассмотрении бесконечности, а также многих других видов математических понятий, какую структуру вы считаете важной , именно такую ​​структуру вы требуете для сохранения с помощью преобразований, которые вы хотите учитывать (например, сопоставление одного набора с другим). ), будет определять, являются ли два объекта эквивалентными или различными. Если вы заботитесь о таких понятиях, как измерение или мера , и требуете, чтобы они сохранялись любыми функциями, которые вы рассматриваете, то вы никогда не сможете привести короткий отрезок во взаимно однозначное соответствие с длинным или с квадратом. Однако, если вы допустите произвольноефункций, которые могут полностью игнорировать те структурные понятия, которыми вы дорожите, то вы можете получить результаты, которые покажется вам удивительными или даже противными вашей интуиции. В конечном итоге это может произойти из-за конфликта между идеями, которые вы хотите рассмотреть, и тем, как вы их рассматриваете.

На самом деле, различие можно увидеть уже для конечных чисел, хотя реально они проявляются только в бесконечных числах.

Кардиналы относятся к вопросу «сколько». Например, на соревнованиях десять спортсменов. Ординалы о порядке. Есть победитель, потом второй, потом третий и так далее.

Теперь для конечных наборов (таких как десять спортсменов выше) есть, по сути, только один способ их упорядочить (игнорирование выбора, кто получит первое место и т. д.). Однако, как только мы получаем бесконечные множества, ситуация кардинально меняется.

Рассмотрим натуральные числа. Их есть определенное количество, которое называется ℵ ₀ (произносится «алеф 0»). Эта сумма, конечно, не зависит от того, как мы их устроим.

Но теперь существует множество существенно различных способов их упорядочивания; действительно, таких способов даже больше, чем натуральных чисел. Однако не все возможные способы их расположения соответствуют порядковому номеру; порядковые номера соответствуют так называемым хорошим порядкам, то есть порядкам, в которых из любого подмножества еще можно сказать, какое из них было первым. Например, это не относится к целым числам, упорядоченным по размеру; если вы посмотрите на отрицательные числа, первого числа нет, так как ему всегда предшествует одно.

Для натуральных чисел наиболее очевидной упорядоченностью является обычная упорядоченность: вы можете легко сказать, например, каково первое простое число (2), первое общее кратное 12 и 15 (0, которое явно предшествует 60), первое число, состоящее из трех цифр в десятичной системе счисления (100), и так далее.

Порядок натуральных чисел называется ω (произносится «омега»).

Обратите внимание, что это тот же тип ордера, который вы получаете, например, обменивая каждое четное число на следующее нечетное число, то есть

1, 0, 2, 1, 3, 2, …

Хотя точный порядок отличается, вы можете вернуть оригинал, просто переименовав отдельные числа в соответствующие их положению. Поэтому это упорядочение также описывается порядковым номером ω.

Но теперь рассмотрим альтернативное расположение натуральных чисел, при котором сначала берутся все нечетные числа, а затем все четные числа. То есть ваш заказ сейчас выглядит так

1, 3, 5, 7, …, 0, 2, 4, 6, …

Это существенно отличается от обычного порядка: в то время как при обычном порядке, начиная с 0, вы можете достичь любого конкретного натурального числа за конечное число шагов, теперь это верно только для нечетных чисел; чтобы получить четное число, вам сначала нужно пройти бесконечное число четных чисел, а затем, возможно, конечное число дальнейших шагов. И вы не можете удалить эту разницу, переименовав числа; факт остается фактом: существуют числа, которым предшествует бесконечно много других чисел.

Однако это все еще хороший порядок. Вы все еще можете спросить, что в этом порядке о первом простом числе (3), первом общем кратном 12 и 15 (все еще 0) и первом трехзначном числе (101).

Этот порядок называется ω+ω (потому что это две копии натурального числа, поставленные рядом друг с другом; порядковый номер «+» в основном означает конкатенацию).

Но вы также можете просто переместить один элемент вправо, например, только 0, чтобы получить

1, 2, 3, 4, 5, …, 0

То есть у вас есть порядок натуральных чисел, а затем еще одно; это описывается порядковым номером ω+1.

И это действительно снова хороший порядок, где теперь первое простое число равно 2, первое общее кратное 12 и 15 равно 60 (потому что 0 появляется намного позже, в ω-й позиции), а первое трехзначное число равно 100.

Теперь вы можете спросить, что такое 1+ω? Ну, просто поставьте 0 слева от 1,2,3, …, а не справа. Что вы получаете? Ну, в точности обычный порядок натуральных чисел! Итак, действительно, 1+ω = ω ≠ ω+1. Итак, у вас есть необычное свойство: сложение порядковых чисел не является коммутативным.

Обратите внимание, что во всех этих примерах использовались натуральные числа, поэтому все они имеют одинаковое количество элементов, то есть одинаковую мощность.

Разница между сопоставлением (количество элементов) и порядком (порядковые номера):

Можно сопоставить два набора, такие как {a,b,c} и {A,B,C}. Алфавитный порядок не важен. Хотя вы можете посчитать элементы в каждом наборе — их обоих по три — это не то, что нужно делать. Сначала возьмите любой элемент из первого набора, скажем «b», и сопоставьте его с одним из второго набора, скажем, «B»; продолжайте делать это, пока один из наборов не станет пустым (или оба). Если первое множество пусто перед вторым, то оно меньше по мощности и т. д. В этом смысле сопоставление более фундаментально, чем подсчет . На самом деле кардинальное число этих двух множеств равно 3. Причина, по которой сопоставление важнее подсчета , заключается в том, что оно может иметь дело с бесконечными множествами.

Порядковые номера относятся к тому, как вы заказываете набор. Два приведенных выше набора имеют одинаковый алфавитный порядок и имеют порядковый номер, также называемый 3.

Набор {1,2,3,...} обычно называют греческой строчной омегой, которую я буду называть w.

тогда {1,2,3,...;1,2}=w+2 и {1,2,3,...;1,2,3,...;1,2}=w+w +3=2н+3

Кардиналы малочисленны среди ординалов. Например, существует множество порядков (порядковых номеров), которые относятся к алеф-1, первому неисчисляемому кардинальному числу.