В чем разница между законом исключенного третьего и законом непротиворечивости?

Разница между законом непротиворечия и законом исключенного третьего тонка; к счастью, это также не имеет отношения к большинству целей.

Различие становится наиболее очевидным, если мы сравним классическую логику с индийской катушкоти , где доступны четыре позиции:

1. п
2. Не П
3. И П, и Не П
4. Ни П, ни Не П

Их можно удобно преобразовать в

1. П верно
2. P ложно
3. P одновременно верно и ложно
4. P не является ни истинным, ни ложным

Для Аристотеля (и классической логики) два нижних варианта запрещены: «И Р, и Не Р» из-за Закона непротиворечия (не существует Р, такого, что Р было бы и истинным, и ложным) и «Ни то, ни другое». Или не Р» из-за Закона Исключенного Середины (не существует такого Р, что Р не является ни истинным, ни ложным, а находится в каком-то третьем состоянии).

Таким образом, они не эквивалентны, но имеют значение только в том случае, если вы хотите исключить девиантную логику. Если вы уже играете по правилам классической логики, эффект каждого будет одинаковым (P либо истинно, либо ложно).

В классической логике высказываний и логике предикатов первого порядка они эквивалентны, как вы заметили, методом таблицы истинности. В классическом ЛЖ «и» и «или» двойственны (для каждой теоремы с «и» есть соответствующая теорема, где оно заменено на «или» (и другие вещи переставлены соответствующим образом).

Что касается необходимости, то можно что угодно переопределить, но тогда можно говорить о другом, и можно сомневаться в чем угодно, но сомнение не делает что-то истинным или ложным.

То есть... "или" считается немного более нюансированным, чем "и". Можно вообразить определенные обстоятельства, при которых человек не так уверен в «P» или «-P». Например, в интуиционистском суждении о нормальности числа пи есть идея, что нельзя точно знать, так или иначе, если любая возможная конечная подпоследовательность цифр встречается в бесконечной последовательности цифр числа пи.

Существует большое количество исследований логики, в которых «P или -P» не является теоремой (не то, что она ложна везде или даже ложна однажды, а просто то, что она недоказуема в этой системе).

С другой стороны, никто особо не утруждает себя попытками подвергнуть сомнению «и»/LNC, потому что без него у вас не будет очень полезной системы доказательств. В качестве интеллектуального упражнения можно было бы отказаться от LNC, но эта маленькая машина не слишком много делает. Напротив, можно по-прежнему делать много интересной математики, отрицая LEM (для ясности, отрицая LEM, вы больше не используете классический FOL).

В конце концов, у «или» есть малейшее дополнительное сомнение, чем у «и», поэтому LNC довольно незаменим, но отсутствие LEM не приводит к тому, что все разваливается .

У Лукасевича трехзначная логика. Ни LNC, ни LEM не являются необходимой истиной для всех предложений. Это условные утверждения, истинные для некоторых предложений, но не обязательно истинные для всех. Может быть интересно отметить, что ни одно из них на самом деле не является ложным. Однако они эквивалентны, как и в классической логике. Это верно для стандартного отрицания, в котором также выполняется LDN.

Однако расширение до трех значений также позволяет определить сильное отрицание (не возможное, не Φ), в котором LNC выполняется, но LEM не работает. Биусловный LDN терпит неудачу: если Φ, то ¬(¬Φ), но не наоборот. Это напоминает логику интуитивизма.

Это также допускает слабое отрицание (не обязательно не Φ), при котором LNC терпит неудачу, но LEM сохраняется. В этом случае бикондициональный LDN также не работает, но в обратном направлении: если ¬(¬Φ), то Φ, но не наоборот.

Многие люди предпочитают цепляться за LNC и заявляют, что «я не могу рассуждать без LNC, поэтому LNC обязателен, а рассуждения без LNC невозможны». Эта стратегия любого рационалиста, утверждающего, что что-то невозможно, потому что он не может думать иначе, является вечным заблуждением, и, конечно же, нет ничего плохого в том, чтобы отказаться от LNC. Что можно сделать смотрите здесь:

Роберт К. Мейер (1976), по-видимому, был первым, кто придумал противоречивую арифметическую теорию. В этот момент его больше интересовала судьба непротиворечивой теории, его релевантной арифметики R#. Оказалось, что существует целый класс противоречивых арифметических теорий; см., например, Meyer & Mortensen 1984. Параллельно с приведенными выше замечаниями о реабилитации логицизма Мейер утверждал, что эти арифметические теории обеспечивают основу для возрожденной программы Гильберта. Многие считали, что программа Гильберта серьезно пострадала из-за второй теоремы Гёделя о неполноте, согласно которой непротиворечивость арифметики недоказуема внутри самой арифметики. Но следствие Мейера Его конструкция заключалась в том, что в рамках его арифметического R# простыми финитарными средствами можно было показать, что какие бы противоречия ни возникали, они не могли неблагоприятно повлиять на какие-либо числовые расчеты. Следовательно, цель Гильберта убедительно продемонстрировать безотказность математики оказывается в значительной степени достижимой.

Позднее было доказано, что арифметические модели, использованные Мейером-Мортенсеном, допускают непоследовательное представление предиката истинности. Они также позволяют представлять структуры за пределами арифметики натуральных чисел, такие как кольца и поля, включая свойства их порядка. Недавно эти противоречивые арифметические модели были полностью охарактеризованы Грэмом Пристом; то есть Прист показал, что все такие модели принимают некоторый общий вид. См. Priest 1997 и 2000. Строго говоря, Прист зашел слишком далеко, включив «кликовые модели». Это было исправлено Пэрис и Патманатан (2006) и расширено до бесконечности Пэрис и Сирокфскич (2008).

http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-inconsistent/#Ари

PEM можно рассматривать как слабую аксиому выбора, как объясняется здесь.

Исключенное среднее можно рассматривать как очень слабую форму аксиомы выбора (чуть более спорный принцип, подвергаемый сомнению или отрицаемый чуть большим меньшинством, и верный внутренне в еще меньшем количестве категорий). На самом деле, следующие эквивалентны.

The principle of excluded middle.
Finitely indexed sets are projective (in fact, it suffices 2-indexed sets to be projective).
Finite sets are choice (in fact, it suffices for 2 to be choice).

https://ncatlab.org/nlab/show/excluded+middle#pem_versus_ac

Конечно, PEM сомнительна и может быть отброшена в конструктивной предикативной логике; но все еще в 2016 году некоторые люди предпочитают цепляться за него...