Вариант уравнения Лапласа (контекст: Yang-Mills N-Instantons, книга Раджарамана)

Question

Вариант уравнения Лапласа (контекст: Yang-Mills N-Instantons, книга Раджарамана)

Физика
инстантоны
Ян-Миллс
теория поля
квантовая теория поля
квантовая хромодинамика

Джонатан Рейнер

Постановка задачи

Мне нужно решить уравнение

\begin{aligned} 0 "=" \frac{1}{ф} \partial_{о} \partial_{о} ф (1) \end{aligned}

$\begin{align} 0 = \frac{1}{\phi} \partial_{\sigma}\partial_{\sigma} \phi \hspace{20mm} (1) \end{align}$

где $\phi$ является скалярным полем, и мы работаем в евклидовом четырехмерном пространстве. Более конкретные вопросы задаются ниже. Основные советы по этому поводу также приветствуются.

Контекст

Я пытаюсь работать с евклидовым решением Yang-Mills N-instanton от 't Hooft. Идея состоит в том, что мы делаем анзац для калибровочных потенциалов

\begin{aligned} А_{мю} "=" я {\bar{о}}_{мю ν} \partial^{ν} (п ф (Икс)) \end{aligned}

$\begin{align} A_{\mu} = i \overline{\sigma}_{\mu \nu} \partial^{\nu}(\ln \phi(x)) \end{align}$

где $\overline{\sigma}_{\mu \nu}$ можно рассматривать как постоянную матрицу 4x4, что не имеет значения для моего вопроса. Мы используем возникающую из этого анзаца самодуальность тензора напряженности поля, чтобы получить уравнение (1) для $\phi$

Трудности

Одним из хороших источников были «Солитоны и инстантоны» Раджарамана. Отображается соответствующий раздел

Соответствующий раздел в Раджарамане

Мои трудности:

Я предполагаю, что под «сингулярным» Раджараман подразумевает, что функция содержит сингулярности. Почему, в явном виде, $\phi$ быть неособым означает, что нам нужно только решить $\Box \phi = 0$ ? Конечно, если $\phi$ содержит любые нули, то $1/\phi$ поднимает вопросы?
Почему $\Box \phi = 0$ разрешать только постоянное решение и не говорить $\phi(x) = a_{\mu} x^{\mu} + b$ где $a_{\mu}$ и $b$ константы? Это из-за формы анзаца или я что-то упускаю?
В случае, когда $\phi$ может быть в единственном числе, почему $\phi = 1/|x|^2$ решить уравнение (1) относительно $x \neq 0$ ? Наверняка у нас есть

\begin{aligned} \frac{1}{ф} \partial_{о} \partial_{о} ф & "=" | Икс |^{2} \partial_{о} \partial_{о} \frac{1}{| Икс |^{2}} \\ "=" | Икс |^{2} \partial_{о} (- \frac{2 {Икс}_{о}}{| Икс |^{4}}) \\ "=" | Икс |^{2} \partial_{о} (\frac{- 2 {Икс}_{о}}{| Икс |^{4}}) \\ "=" | Икс |^{2} \partial_{о} (\frac{- 2 {Икс}_{о}}{(\sum_{я} {Икс}_{я}^{2})^{2}}) \\ "=" | Икс |^{2} \frac{- 2}{(\sum_{я} {Икс}_{я}^{2})^{2}} + | Икс |^{2} \frac{8 {Икс}_{о}^{2}}{(\sum_{я} {Икс}_{я}^{2})^{3}} \\ "=" \frac{- 2}{| Икс |^{2}} + \frac{8 {Икс}_{о}^{2}}{| Икс |^{4}} \\ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\phi} \partial_{\sigma}\partial_{\sigma} \phi &= |x|^2 \partial_{\sigma}\partial_{\sigma} \frac{1}{|x|^2}\\ &= |x|^2 \partial_{\sigma}\bigg(-\frac{2 x_{\sigma}}{|x|^4}\bigg)\\ &=|x|^2\partial_{\sigma} (\frac{-2 x_{\sigma}}{|x|^4})\\ &= |x|^2\partial_{\sigma} (\frac{-2 x_{\sigma}}{(\sum_{i} x_i^2)^2})\\ &= |x|^2\frac{-2}{(\sum_i x_i^2)^2} + |x|^2\frac{8 x_{\sigma}^2}{(\sum_i x_i^2)^3}\\ &=\frac{-2}{|x|^2} + \frac{8 x_{\sigma}^2}{|x|^4}\\ &\neq 0 \end{align}$

( редактировать ) Я вижу, где я ошибся выше, последние три строки должны быть

\begin{aligned} "=" \sum_{о} (| Икс |^{2} \frac{- 2}{(\sum_{я} {Икс}_{я}^{2})^{2}}) + | Икс |^{2} \frac{8 {Икс}_{о}^{2}}{(\sum_{я} {Икс}_{я}^{2})^{3}} \\ "=" \frac{- 8}{| Икс |^{2}} + \frac{8 | Икс |^{2}}{| Икс |^{4}} \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum_{\sigma}(|x|^2\frac{-2}{(\sum_i x_i^2)^2}) + |x|^2\frac{8 x_{\sigma}^2}{(\sum_i x_i^2)^3}\\ &=\frac{-8}{|x|^2} + \frac{8 |x|^2}{|x|^4}\\ &= 0 \end{align}$

Тримок

На ваш вопрос

3

$3$ , это объясняется в

(4.64)

$(4.64)$ , у вас есть

| x |^{2} δ^{4} (x) = 0^{2} δ^{4} (x) = 0

$|x|^2 \delta^4(x)=0^2 \delta^4(x)=0$

Джонатан Рейнер

4.64 применяется в случае, когда

x = 0

$x=0$ . Мой вопрос относится к

x \neq 0

$x\neq 0$ сектор. То есть они утверждают, что уравнение выполняется, когда

x

$x$ не 0, и я не понимаю, почему.

Тримок

Нет, в

4

$4$ евклидовы размеры, уравнение

◻ \frac{1}{| x |^{2}} = - 4 π^{2} δ^{4} (x)

$\square \frac{1}{|x|^2} = -4 \pi^2 \delta^4(x)$ верно "для всех

x

$x$ ". Строго говоря, это уравнение между распределениями, означающее, что для любой гладкой функции

f (x)

$f(x)$ , у вас есть

\int d^{4} x f (x) ◻ \frac{1}{| x |^{2}} = \int d^{4} x f (x) (- 4 π^{2} δ^{4} (x)) = - 4 π^{2} f (0)

$\int d^4x f(x)\, \square \frac{1}{|x|^2} = \int d^4x f(x) \,(-4 \pi^2 \delta^4(x)) = -4 \pi^2 f(0)$ .

Джонатан Рейнер

Да, это верно для всех

x

$x$ , это верно. Когда я сказал: «4.64 относится к случаю, когда

x = 0

$x=0$ Я имею в виду, что 4.64 не проливает света на то, почему 4.62 верно. 3 спрашивает, почему 4.62 верно, что я уже видел (см. редактирование). Конечно, 4.64 подразумевает 4.62, но если вы не можете доказать 4.64 знание 4.62 (что было бы интересно!), ваше предложение бесполезно, то есть я считаю, что когда вы интегрируете по всему пространству и получаете ненулевой ответ, вы используете знание того, что подынтегральная функция равна нулю «почти везде», и таким образом сделать вывод, что вклад исходит от дельта-функций.

Джонатан Рейнер

Короче говоря, я спрашиваю, справедливо ли заключить

\int_{all} d^{4} x g (x) = - 4 π^{2} ⟹ g (x) = - 4 π^{2} δ^{4} (x)

$\int\limits_{\text{all}} d^4 x\, g(x) = -4\pi^2 \implies g(x) = -4 \pi^2 \delta^4(x)$ ? Похоже, вы говорите, что это так.

Тримок

Вы читали мой первый комментарий?

Ответы (1)

Вариант уравнения Лапласа (контекст: Yang-Mills N-Instantons, книга Раджарамана)

На ваш вопрос $3$ , это объясняется в $(4.64)$ , у вас есть $|x|^2 \delta^4(x)=0^2 \delta^4(x)=0$
4.64 применяется в случае, когда $x=0$ . Мой вопрос относится к $x\neq 0$ сектор. То есть они утверждают, что уравнение выполняется, когда $x$ не 0, и я не понимаю, почему.
Нет, в $4$ евклидовы размеры, уравнение $\square \frac{1}{|x|^2} = -4 \pi^2 \delta^4(x)$ верно "для всех $x$ ". Строго говоря, это уравнение между распределениями, означающее, что для любой гладкой функции $f(x)$ , у вас есть $\int d^4x f(x)\, \square \frac{1}{|x|^2} = \int d^4x f(x) \,(-4 \pi^2 \delta^4(x)) = -4 \pi^2 f(0)$ .
Да, это верно для всех $x$ , это верно. Когда я сказал: «4.64 относится к случаю, когда $x=0$ Я имею в виду, что 4.64 не проливает света на то, почему 4.62 верно. 3 спрашивает, почему 4.62 верно, что я уже видел (см. редактирование). Конечно, 4.64 подразумевает 4.62, но если вы не можете доказать 4.64 знание 4.62 (что было бы интересно!), ваше предложение бесполезно, то есть я считаю, что когда вы интегрируете по всему пространству и получаете ненулевой ответ, вы используете знание того, что подынтегральная функция равна нулю «почти везде», и таким образом сделать вывод, что вклад исходит от дельта-функций.
Короче говоря, я спрашиваю, справедливо ли заключить $\int\limits_{\text{all}} d^4 x\, g(x) = -4\pi^2 \implies g(x) = -4 \pi^2 \delta^4(x)$ ? Похоже, вы говорите, что это так.
Вы читали мой первый комментарий?

адипы · Answer 1

1) Если $\phi$ неособый, вы можете безопасно умножить обе части на $\phi$ и получить $\square \phi = \phi*0 = 0$ . Если $\phi$ единственное число, вы не можете этого сделать, потому что $\phi * 0$ не определено. Эквивалентно, где $1/\phi=0$ вы можете иметь $\square\phi$ отлично от нуля, как показано в (4.64). Особенности в $\phi$ будет отображать нули в $1/\phi$ .

2) Я считаю, что разрешено только упомянутое вами линейное решение, что приводит к неограниченным значениям поля на бесконечности. Я полагаю, что это достаточная причина, чтобы отклонить его.

3) Я считаю, что ваша математика неверна. $\partial_\sigma (x_\sigma / |x|^4)$ равен нулю. В 4-х измерениях вы должны получить два равных члена с противоположными знаками.

Для 1) Это кажется разумным (я никогда официально не изучал это). Не могли бы вы немного уточнить, может быть, в теоретическом смысле, почему $0 * \phi$ не определено для единственного числа $\phi$ ? 2) Тоже разумно. Не совсем ясно из Раджарамана, поэтому я подумал, была ли другая причина... 3) Извините, я не вижу этого. Можете показать в явном виде? Я отредактировал то, что у меня есть в моем вопросе выше.
Неважно на 3, увидел мою ошибку и исправил выше. Спасибо!
2) Однако я не уверен, что 2) правильно. Из анзаца, который я упомянул, калибровочные поля, соответствующие линейному решению, будут $A_{\mu} = i \overline{\sigma}_{\mu\nu}\partial^{\nu} \ln (a_{\sigma} x^{\sigma} +b) = i \overline{\sigma}_{\mu\nu} a_{\nu}/(a_{\sigma} x^{\sigma} + b)$ который исчезает на бесконечности.
Что касается (1), я говорю, что $\infty * 0$ бессмысленная величина, вот что $\phi*0$ будут находиться в особых точках $\phi$ . Мы обеспокоены $\square\phi/\phi=0$ . Если вы знаете, что $\phi$ не содержит бесконечностей (особых точек), то в каждой точке знаменатель конечен и, следовательно, $\square\phi$ должен быть равен нулю везде - так что вы можете отбросить $1/\phi$ . Если $\phi$ содержит бесконечности, то в этих точках $\square\phi$ может быть конечным - или даже бесконечным, если это "меньшая бесконечность", как в $x/x^2$ .

Вариант уравнения Лапласа (контекст: Yang-Mills N-Instantons, книга Раджарамана)

Джонатан Рейнер

Тримок

Джонатан Рейнер

Тримок

Джонатан Рейнер

Джонатан Рейнер

Тримок

Ответы (1)

адипы

Джонатан Рейнер

Джонатан Рейнер

Джонатан Рейнер

адипы

Если классическая теория Максвелла справедливо описывает E&M, насколько хороша классическая теория Янга-Миллса для хромодинамики?

Является ли это киральной аномалией единственной причиной наличия инстантонных эффектов (и, следовательно, θ−θ−\тета-члена) в действии КХД?

Почему суперпозиция вакуумных состояний возможна в КХД, но не в электрослабой теории?

Что означает отсутствие математических доказательств заключения?

Разложение по цвету амплитуды n−n−n-глюонного дерева

Инстантон Ян-Миллс

Могут ли массивные фермионы иметь нулевые моды?

Являются ли «ограничение» и «асимптотическая свобода» двумя сторонами одной медали?

Форма SU(N)SU(N)SU(N) калибровочных преобразований в SU(N)SU(N)SU(N) теории Янга-Миллса

В чем разница между теорией Янга-Миллса и КХД?