Видят ли наблюдатели свободного падения гравитационное синее смещение? [дубликат]

Есть два эффекта, которые изменяют частоту света:

1. гравитационное замедление времени

2. доплеровский сдвиг из-за скорости падающего наблюдателя

В первом приближении мы можем просто перемножить их вместе, чтобы понять, что видит падающий наблюдатель.

Гравитационное замедление времени для свободно падающего наблюдателя рассчитано в моем ответе на A clock in freefall и получается:

$$\frac{d\tau}{dt} = 1 - \frac{r_s}{r} \tag{1}$$

Обратите внимание, что это больше, чем замедление времени для наблюдателя, парящего рядом с черной дырой, потому что замедление времени происходит из-за скорости, а также из-за гравитационного поля.

Доплеровский сдвиг определяется выражением:

$$\frac{f}{f_0} = 1 - \frac{v_{obs}}{v_{light}} \tag{2}$$

Скорость свободно падающего наблюдателя равна

$$\frac{v_{obs}}{c} = \left( 1 - \frac{r_s}{r} \right) \sqrt{\frac{r_s}{r}}$$

а скорость света вблизи черной дыры равна :

$$\frac{v_{light}}{c} = 1 - \frac{r_s}{r}$$

Подстановка их в наше выражение (2) для доплеровского сдвига дает:

$$\frac{f}{f_0} = 1 - \sqrt{\frac{r_s}{r}}$$

и остается только преобразовать это в частоту, наблюдаемую свободно падающим наблюдателем, путем деления на коэффициент, рассчитанный в уравнении (1):

$$\begin{align} \frac{f}{f_0} &= \frac{1 - \sqrt{\frac{r_s}{r}}}{1 - \frac{r_s}{r}} \\ &= \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{r_s}{r}}} \end{align}$$

И вот ваш ответ. Значение$f/f_0$меньше единицы, поэтому наблюдатель, свободно падающий в черную дыру, видит свет с красным, а не с синим смещением.