Визуализация nnn-мерных гильбертовых пространств

Это может помочь сначала получить более широкое понимание того, что такое векторное пространство. Безусловно, наиболее распространенным примером векторного пространства является набор маленьких стрелок, которые вы добавляете к кончику и умножаете, растягивая.

Если вы посмотрите определение векторного пространства, например, в этой статье Википедии , вы обнаружите, что это набор объектов, которые можно складывать вместе и умножать на числа. Должны применяться определенные правила, чтобы сложение и умножение совпадало с обычным способом. Стрелки подходят под это определение, как и многие другие вещи.

Некоторые наиболее распространенные векторные пространства — это наборы упорядоченных пар, троек и других n-кортежей. Таким образом, визуализация набора упорядоченных четырех кортежей — это визуализация четырехмерного векторного пространства.

Есть и другие примеры. Набор функций формата$a_0 + a_1 x + a_x x^2$представляет собой набор объектов, которые можно складывать вместе и умножать на числа. Это трехмерное векторное пространство. Вы можете визуализировать это в виде графиков — набор линий и линий и парабол. Пространство 4D или 5D имеет более сложные кривые.

Это не то, о чем вы обычно думаете, когда представляете себе векторное пространство, но это связано с типом векторного пространства, используемого в квантовой механике. Квантовая механика полностью посвящена волновым функциям. Набор всех волновых функций представляет собой векторное пространство, которое необходимо визуализировать.

Это более сложное функциональное пространство, чем предыдущее, по ряду причин. Во-первых, функции определены в трехмерном пространстве, а не в одномерной числовой строке. Во-вторых, значение функции в каждой точке представляет собой комплексное число, а не действительное число. В-третьих, существует ограничение на то, какие функции разрешены в пространстве. Величина рассчитывается по$\int \psi^*\psi dx$. Величина должна быть 1.

Так что это все еще проблема для визуализации. Но, по крайней мере, это не требует визуализации стрелок в N-мерном пространстве.

Самое простое представление состоит в том, чтобы визуализировать векторы как$n \times 1$матрицы столбцов. Двойные пространственные векторы$1 \times n$матрицы строк. Внутренний продукт — это матричное умножение между векторами-строками и векторами-столбцами.

Например, три ортогональные пространственные оси соответствуют трем позициям в$3\times 1$матрица столбцов. В$n$-мерная матрица, ортогональные оси представлены матрицами-столбцами с$1$в один ряд и$0$в каждом втором ряду.