Неравенство Коши-Шварца в квантовой механике Шанхара

Question

Неравенство Коши-Шварца в квантовой механике Шанхара

Анонимный

Я пытаюсь понять доказательство этого неравенства. Но у меня есть некоторые проблемы.

Итак, Шанкар начинает доказательство с определения нового вектора $|z \rangle$ :

| г ⟩ "=" | в ⟩ - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ .

$|z \rangle = |v\rangle - \frac{\langle w|v \rangle}{|w|^2} |w \rangle.$

И вот, я хотел бы знать, почему мы предполагаем вектор именно в таком виде? Я знаю, что это проекция одного вектора на второй.

Мой второй вопрос заключается в том, что мы умножаем это уравнение на $\langle z|$ .

⟨ г | г ⟩ "=" ⟨ в - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} ж | в - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ "=" ⟨ в | в ⟩ - \frac{⟨ ж | в ⟩ ⟨ в | ж ⟩}{| ж |^{2}} - \frac{⟨ ж | в ⟩^{*} ⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} + \frac{⟨ ж | в ⟩^{*} ⟨ ж | в ⟩ ⟨ ж | ж ⟩}{| ж |^{4}}

$\langle z|z\rangle = \left\langle v - \frac{\langle w|v \rangle}{|w|^2} w \right|\left.v-\frac{\langle w|v \rangle}{|w|^2} |w \right\rangle\\ = \langle v|v \rangle - \frac{\langle w|v \rangle \langle v|w \rangle}{|w|^2} - \frac{\langle w|v \rangle ^*\langle w|v \rangle}{|w|^2} + \frac{\langle w|v \rangle ^*\langle w|v \rangle \langle w|w \rangle}{|w|^4}$

Чего я не понимаю, так это комплексного сопряжения в последних двух выражениях. Почему же тогда мы не спрягаем первое и второе?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Итак, мы умножаем ket-z на bra-z. Итак, если кет-з:

| г ⟩ "=" | в ⟩ - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ .

$|z \rangle = |v\rangle - \frac{\langle w|v \rangle}{|w|^2} |w \rangle.$ и бюстгальтер-z это:

⟨ г | "=" ⟨ в | - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} ⟨ ж | .

$\langle z |= \langle v|- \frac{\langle w|v \rangle}{|w|^2} \langle w|.$

И что меня беспокоит, так это термин выше:

⟨ ж | в ⟩,

$\langle w|v \rangle,$ потому что, если

| z ⟩ = [(⟨ z |^{*})^{T}] .

$| z \rangle = [(\langle z |^*)^T].$ Так что бюстгальтер не должен быть

⟨ г | "=" ⟨ в | - \frac{⟨ в | ж ⟩}{| ж |^{2}} ⟨ ж | .

$\langle z |= \langle v|- \frac{\langle v|w \rangle}{|w|^2} \langle w|.$

Ответы (2)

Неравенство Коши-Шварца в квантовой механике Шанхара

Иван Бурбано · Answer 1

⟨ ж | г ⟩ "=" ⟨ ж | в - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ ⟩ "=" ⟨ ж | в ⟩ + ⟨ ж | - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ ⟩ .

$\langle w|z\rangle=\left\langle w\left|v-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle\right.\right\rangle =\langle w|v\rangle+\left\langle w\left|-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle\right.\right\rangle.$ Давайте теперь будем осторожны в трактовке второго термина, связанного с вашим вторым вопросом. У нас есть это

⟨ a | (λ | b ⟩) ⟩ = λ ⟨ a | b ⟩

$\langle a|(\lambda |b\rangle)\rangle=\lambda\langle a|b\rangle$ . Поэтому, взяв

| a ⟩ = | w ⟩ = | b ⟩

$|a\rangle=|w\rangle=|b\rangle$ и

λ = - \frac{⟨ w | v ⟩}{| w |^{2}}

$\lambda=-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}$ , Мы видим, что

⟨ ж | - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ ⟩ "=" - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} ⟨ ж | ж ⟩

$\left\langle w\left|-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle\right.\right\rangle=-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}\left\langle w\left|w\right.\right\rangle$ Наконец, вспомнив, что

| w |^{2} := ⟨ w | w ⟩

$|w|^2:=\langle w|w\rangle$ , делаем вывод, что

⟨ ж | - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ ⟩ "=" - \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж |^{2} "=" - ⟨ ж | в ⟩,

$\left\langle w\left|-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle\right.\right\rangle=-\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w|^2=-\langle w|v\rangle,$ и

⟨ ж | г ⟩ "=" ⟨ ж | в ⟩ - ⟨ ж | в ⟩ "=" 0.

$\langle w|z\rangle=\langle w|v\rangle-\langle w|v\rangle=0.$ Как следствие, вы получаете это

| v ⟩

$|v\rangle$ ,

| z ⟩

$|z\rangle$ и

\frac{⟨ w | v ⟩}{| w |^{2}} | w ⟩

$\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой

| в ⟩ "=" | г ⟩ + \frac{⟨ ж | в ⟩}{| ж |^{2}} | ж ⟩ .

$|v\rangle=|z\rangle +\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle.$ Тогда теорема Пифагора гарантирует, что

| в |^{2} "=" | г |^{2} + \frac{| ⟨ ж | в ⟩ |^{2}}{| ж |^{4}} | ж |^{2} "=" | г |^{2} + \frac{| ⟨ ж | в ⟩ |^{2}}{| ж |^{2}} \geq \frac{| ⟨ ж | в ⟩ |^{2}}{| ж |^{2}} .

$|v|^2=|z|^2+\frac{|\langle w|v\rangle|^2}{|w|^4}|w|^2=|z|^2+\frac{|\langle w|v\rangle|^2}{|w|^2}\geq\frac{|\langle w|v\rangle|^2}{|w|^2}.$ Мы заключаем, что

| v |^{2} | w |^{2} \geq | ⟨ w | v ⟩ |^{2}

$|v|^2|w|^2\geq|\langle w|v\rangle|^2$ . Это доказательство приведено в этой статье Википедии .

Если вы поняли это вычисление, ответ на ваш второй вопрос должен быть ясен. Помните, что $\langle a|b\rangle=\langle b|a\rangle^*$ и так $\langle (\lambda a)|b\rangle=\lambda^*\langle a|b\rangle$ .

Ответ на редактирование:

Ваша первая формула для $\langle z|$ неправильно. Второй вариант правильный

⟨ г | "=" ⟨ в | - \frac{⟨ в | ж ⟩}{| ж |^{2}} ⟨ ж |

$\langle z|=\langle v|-\frac{\langle v|w\rangle}{|w|^2}\langle w|$

Теперь я понимаю, но есть ли какое-то логическое объяснение тому, что мы начинаем с ортогонального вектора к $|w \rangle$ ?
Идея в том, что $|z\rangle$ , $|v\rangle$ и $\frac{\langle w|v\rangle}{|w|^2}|w\rangle$ образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна $|v\rangle$ . Тогда неравенство Коши-Шварца является прямым следствием теоремы Пифагора.
У меня есть еще один вопрос о $\langle z |$ . Итак, если $[(|z \rangle)^*]^T= \langle z|$ , почему этот термин $\langle w|v \rangle$ не сопряжено?
Я не очень понимаю ваш вопрос. Пожалуйста, дополните.
Я добавил правку в свой ответ. Мне жаль, что литература по этому вопросу так запутана. У меня тоже было много проблем с этим, когда я учился этому. Я предлагаю изучить линейную алгебру очень хорошо перед квантовой механикой. Я рекомендую «Линейную алгебру» Фридберга. В частности, узнайте о пространствах внутреннего продукта в обозначениях математиков. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ . Честно говоря, я думаю, что обозначения Дирака слишком сложны. Однако, как только вы изучите математические обозначения, обозначения Дирака станут тривиальными. Однако должен сказать, что это не очень популярная точка зрения.
Танк вам очень нравится. По крайней мере, это означает, что я понимаю эту запись и в книге Шанхара есть ошибка. Но, если я использую правильную форму, это приводит меня к: $⟨ в | в ⟩ ⟨ ж | ж ⟩ \geq ⟨ ж | в ⟩ ⟨ ж | в ⟩ .$ $\langle v|v \rangle \langle w|w \rangle \geq \langle w|v \rangle \langle w|v \rangle.$ Итак, я не могу взять правую часть за модуль, так что это не неравенство Шварца.
Ладно, думаю, разобрался. Еще раз спасибо :D

Айлон Пинто · Answer 2

Если вы взглянете на Шанкара в главе 1.2 Пространства внутренних произведений, он объясняет, что комплексный внутренний продукт линейен в кет-части и кососимметричен. Значение $\langle v|w\rangle=\langle w|v\rangle^*$ и $\langle v|\alpha w + \beta z\rangle=\alpha \langle v|w\rangle + \beta \langle v | z \rangle$ . А теперь попробуйте составить выражение, и у вас все должно получиться.

Что касается вашего первого вопроса, это просто определение. Я не знаю мотивации, но полагаю, что она может быть умной, так что доказательство работает хорошо.

Неравенство Коши-Шварца в квантовой механике Шанхара

Анонимный

Ответы (2)

Иван Бурбано

пользователь 237867

Иван Бурбано

Иван Бурбано

пользователь 237867

Иван Бурбано

пользователь 237867

Иван Бурбано

пользователь 237867

пользователь 237867

Айлон Пинто

Линейность внутреннего произведения в обозначениях Дирака

Визуализация nnn-мерных гильбертовых пространств

Почему бы не просто комплексно-сопряженные бюстгальтеры и кеты вместо эрмитовых сопряженных?

Бесконечномерные векторные пространства против дуального пространства

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Почему свойство «полного метрического пространства» гильбертовых пространств необходимо в квантовой механике?

Важность произведения Кронекера в квантовых вычислениях

Концептуальная трудность в понимании непрерывного векторного пространства

Почему именно оператор обращения времени должен быть антилинейным?