Внутренний продукт: операция между векторами из одного и того же векторного пространства или между векторами из векторного пространства и его двойственного пространства (пример: бюстгальтеры и кеды)?

Я делаю свои первые шаги в изучении квантовой механики и изучаю систему обозначений Дирака. Я пытаюсь понять, что такое внутренний продукт.

Мое понимание до сих пор: внутренний продукт - это операция между векторами, которая возвращает скаляр. Это позволяет нам определить ортогональность: два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно 0. Внутреннее произведение является обобщением скалярного произведения, которое я использовал до сих пор, которое, по сути, является скалярным произведением, ограниченным векторами в р н , всегда возвращающий реальные скейлеры. Пространство внутреннего продукта — это векторное пространство, для которого определено внутреннее произведение.

Вот тут-то я и запутался: до сих пор я применял скалярное произведение к векторам из одного и того же векторного пространства. Кроме того, из Википедии: внутренний продукт «связывает каждую пару векторов в пространстве [внутреннего продукта] со скалярной величиной, известной как внутренний продукт векторов».

Однако, просматривая «Принципы квантовой механики» Шанкара, я узнал, что векторное пространство кетов связано с векторным пространством бюстгальтеров, его дуальным пространством. В учебнике говорится, что внутренний продукт определен только между бюстгальтерами и кетами и, следовательно, только между векторным пространством и его двойственным пространством. Я ничего не нашла о комплектах внутренней одежды или бюстгальтерах, и мне кажется, что это не имеет смысла. Не являются ли векторные пространства, связанные с бюстгальтерами и кетами, пространствами внутреннего произведения? Или внутренний продукт будет просто бессмысленным?

Таким образом, является ли внутренний продукт в векторном пространстве таким же, как внутренний продукт между бюстгальтерами и кетами, или я путаю две разные идеи? Каковы вообще операнды, на которые действует внутренний продукт?

Если вы думаете о скалярном произведении как о матричном умножении, оно должно стать яснее: bra — это вектор-строка, тогда как ket — это столбец.
Но разве скалярный продукт, внутренний продукт, не определяется между любыми векторами одинаковой длины, независимо от того, являются ли они векторами-строками или векторами-столбцами?
Вы не можете умножить два столбца или две строки, используя правила умножения матриц. Однако думать об этом как о матричном умножении избавляет вас от необходимости возиться с двойными пробелами и т. д.
На самом деле пространство матриц-строк просто двойственно пространству матриц-столбцов. На самом деле это хороший способ думать о двойственности, по крайней мере, для конечномерных пространств. Скалярный продукт просто понимается как означающий, что вы преобразуете матрицу-столбец в матрицу-строку и используете умножение матриц, как было предложено. Это нормально, пока вы не захотите сделать что-то вроде работы с векторами в криволинейных координатах (необходимо для gtr), когда это становится немного сложнее.
Гильбертово пространство и его непрерывное сопряженное (пространство всех непрерывных линейных функционалов) — одно и то же. Этот результат известен как теорема Рисса о представлении. Фактически, это скалярный продукт — способ отображения элементов гильбертова пространства в элементы двойственного: ф е ЧАС , то соответствующий элемент двойственности равен ⟨ ф , ⋅ ⟩ . Обратно, каждый элемент непрерывного двойственного можно записать как последний для некоторого ф .

Ответы (2)

Внутренний продукт — это карта

⟨ . , . ⟩ : ЧАС × ЧАС → С ( ψ , ф ) ↦ ⟨ ψ , ф ⟩

который отправляет два вектора векторного пространства ЧАС (в КМ это на самом деле не только векторное пространство, но даже гильбертово пространство) к комплексным числам. В физических обозначениях векторы в ЧАС часто записываются в скобках как кет | ψ ⟩ . Одна из причин этого состоит в том, чтобы отличить их от «обычных» конечномерных векторов, которые отмечены стрелкой вверху. Дело в том, что векторы в гильбертовом пространстве являются абстрактными объектами, они отличаются (но часто эквивалентны) набору чисел ( ψ 1 , ψ 2 , . . . ) которые являются представлением этого вектора в некотором базисе.

«Вектор бюстгальтера» — это карта

α ⋆ : ЧАС → С ψ ↦ ⟨ α , ψ ⟩ ,

который переводит векторы в гильбертовом пространстве в комплексные числа, используя ранее определенный скалярный продукт. Здесь, α какой-то вектор е ЧАС . На самом деле карты α ⋆ (читайте это как отдельный объект, а не как α комплексно сопряженные) на самом деле также из векторного пространства, поскольку вы можете сложить их и умножить на число, поэтому они называются векторами бюстгальтера. Каждый вектор бюстгальтера также однозначно соответствует вектору в ЧАС (существует изоморфизм между двумя векторными пространствами), поэтому мы можем обозначить как карту, так и соответствующий кет-вектор в скалярном произведении с α .

  • Таким образом, является ли внутренний продукт в векторном пространстве таким же, как внутренний продукт между бюстгальтерами и кетами, или я путаю две разные идеи?

Да, это по сути одно и то же. Даны два кета | ф > , | г > , мы определяем внутренний продукт < ф | г > , что позволяет нам определить двойственное пространство лифчиков как пространство функционалов на кет-пространстве

< ф | : | г >↦< ф | г >

Однако предостережение. Это действительно работает только для конечномерного внутреннего пространства продукта. Для конечномерного гильбертова пространства ясно, что существует (анти-)изоморфизм между брасами и кетами (анти-относится к комплексному сопряжению). Теорема Рисса о представлении распространяет этот результат на бесконечномерное гильбертово пространство (требуется полнота). В более общем смысле, для бесконечномерного векторного пространства могут быть функционалы или бюстгальтеры в двойственном пространстве, которые не соответствуют кетам, и могут быть кеты, для которых ни один соответствующий функционал не определен согласно скалярному произведению.

Если у вас есть бесконечномерное пространство (как мы обычно делаем в qm), то вы можете делать вид, что оно работает большую часть времени, даже если это не так. Например, мы делаем вид , что у нас есть гильбертово пространство, натянутое на состояния положения | Икс > , но внутренний продукт < Икс | у > является дельта-функцией. Мы делаем вид, что все это охвачено теорией распределения, но на самом деле это не так. Теория распределений имеет серьезные ограничения. Что касается обычной квантовой механики, я не знаю о каких-либо серьезных проблемах, которые возникают, но в релятивистской квантовой механике есть серьезные проблемы, приводящие к расхождениям в qed. В конечном итоге это означает, что не существует математического определения квантовых полей, которое обычно используется в квантовой теории поля.

Я рассмотрел эти проблемы в книге «Построение полной КЭД с использованием конечномерного гильбертова пространства ». Также в Light After Dark III: The Mathematics of Gravity and Quanta , в которой я даю математически строгую трактовку.

Внутренний продукт: операция между векторами из одного и того же векторного пространства или между векторами из векторного пространства и его двойственного пространства (пример: бюстгальтеры и кеды)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v