Вопросы о степени свободы в общей теории относительности

Question

Вопросы о степени свободы в общей теории относительности

346699

Меня смущает количество степеней свободы в общей теории относительности. Есть два способа его подсчета. Однако они противоречивы . Для простоты рассмотрим вакуумное решение.

Первый, $G_{\mu\nu}=0$ дает $10$ уравнения и $g_{\mu\nu}$ иметь $10$ степени свободы (степень свободы). Пока $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ являются $4$ личности, только $6$ оригинала $10$ ( $G_{\mu\nu}=0$ ) уравнения независимы. Так что теперь есть $6$ независимые уравнения и $10$ степени свободы. Поскольку существует свобода преобразования координат, $4$ из $10$ являются калибровочной свободой. Данный $4$ координатные условия, только $6$ являются физическими степенями свободы и существуют $6$ независимыми уравнениями, поэтому оно корректно определено.

Во-вторых, если мы рассматриваем гамильтонов формализм, нам нужна декомпозиция АДМ, где $N$ и $N^i$ являются лагранжевыми множителями и могут быть заданы произвольно. Так что есть $6$ степени свободы, которые $g_{ij}$ . Пока $N$ и $N^i$ давать $4$ ограничения, только $6-4=2$ являются физическими степенями свободы.

Следовательно, существует противоречие относительно числа степеней свободы между уравнениями поля Эйнштейна, которые дают $6$ и формализм Гамильтона, который дает $2$ .

Итак, у меня есть следующие вопросы:

1) Как примирить вышеуказанное противоречие? Сколько физических степеней свободы в ОТО?

2) Есть поговорка, что безмассовая частица со спином 2 имеет две степени свободы. $g_{\mu\nu}$ ?

3) Мы всегда говорим, что из-за свободы координатного преобразования (или калибровочной свободы) $x^\mu \xrightarrow{} x^\mu+\xi^\mu(x)$ , мы можем уменьшить $4$ собака в $g_{\mu\nu}$ . Однако в электродинамике $A^\mu$ также имеет калибровочную свободу $A^\mu \xrightarrow{} A^\mu + \partial^\mu \Lambda(x)$ который может уменьшить $2$ степенями свободы в $A^\mu$ . Я знаю, как их вывести. Я просто хочу знать, почему в GR $4$ свобода функций $\xi^\mu(x)$ может уменьшить 4 степени свободы, а в электродинамике $1$ функциональная свобода $\Lambda(x)$ может уменьшиться $2$ степ.

Примечание: я слышал, как кто-то говорил, что в первом случае $g_{\mu\nu}$ иметь $10$ степень свободы калибровки уменьшается $4$ степеней свободы и тождества Бьянки $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ являются $4$ ограничения, которые уменьшают $4$ степень свободы $g_{\mu\nu}$ , так $10-4-4=2$ физическая глубина резкости остается. Я думаю, что это неправильно, потому что identity отличается от constriant . Тождество уменьшает количество независимых уравнений, а константа уменьшает количество степеней свободы. $g_{\mu\nu}$ , $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ всегда правы, $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ не будет иметь никаких ограничений на $g_{\mu\nu}$ .

Джерри Ширмер

Тождества Бьянки не зависят от координат. Вы считаете их по преобразованиям координат фиксации датчика независимо: 10 - 4 - 4 = 2.

Ответы (2)

Вопросы о степени свободы в общей теории относительности

Тождества Бьянки не зависят от координат. Вы считаете их по преобразованиям координат фиксации датчика независимо: 10 - 4 - 4 = 2.

асперанц · Answer 1

Ключевым моментом во всем этом является то, что общая теория относительности является калибровочной теорией, а, как говорится, «калибровка всегда попадает дважды» (очевидно, приписывается Клаудио Тейтельбойму). Это означает, что (1) у вас есть произвольная свобода в определении вашей эволюции, соответствующая способности делать калибровочные преобразования, и (2) некоторые уравнения эволюции будут ограничениями. Этот второй факт означает, что вам не разрешается выбирать произвольные исходные данные для вашей теории; скорее, исходные данные, которые вы выбираете, подчиняются ограничениям, которые возникают, поскольку ваше действие является калибровочно-инвариантным.

Обычно проще всего начать с вакуумной электродинамики. Там уравнения движения читаются

\partial^{мю} (\partial_{мю} А_{ν} - \partial_{ν} А_{мю}) "=" 0.

$\partial^\mu(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)=0.$ Не все эти уравнения второго порядка по времени; просто посмотри на

ν = 0

$\nu=0$ компонент:

\partial_{т}^{2} А_{0} - \nabla^{2} А_{0} - \partial_{т} (\partial_{т} А_{0} - \nabla \cdot \vec{А}) "=" 0 ⟹ \partial_{т} \nabla \cdot \vec{А} - \nabla^{2} А_{0} "=" 0.

$\partial_t^2 A_0 - \nabla^2A_0 -\partial_t(\partial_t A_0 - \nabla\cdot\vec{A}) = 0 \\ \implies\partial_t\nabla\cdot\vec{A}-\nabla^2A_0 = 0.$

Это в основном $\nabla\cdot \vec{E} = 0$ вакуумное уравнение Максвелла (т.е. кулоновская калибровка с $\nabla\cdot\vec{A}=0$ и $\vec{E} = -\nabla A_0$ ). Это ограничение ваших исходных данных, потому что вам не разрешено делать произвольный выбор для $(A_0, \vec{A})$ и $(\partial_t A_0, \partial_t \vec{A})$ ; скорее, они должны удовлетворять этому ограничению. Так что это сокращает количество начальных условий с 4 до 3. Тогда калибровочное преобразование $A_\mu \mapsto A_\mu + \partial_\mu \lambda$ позволяет отсечь еще один кусок исходных данных, наложив условие фиксации датчика (т.е. $\nabla\cdot\vec{A}=0$ ). Это приводит нас к 2 степеням свободы.

Для общей теории относительности теперь у вас есть 4 калибровочные свободы, порожденные диффеоморфизмами, описываемыми вектором $\xi^\mu$ . Таким образом, применяя максиму, мы должны ожидать сокращения $4\times2=8$ степени свободы. На самом деле тождество Бьянки говорит, где искать ограничения. Давайте немного расширим его:

0 "=" \nabla_{мю} г^{мю ν} "=" \partial_{0} г^{0 ν} + \partial_{я} г^{я ν} + Г_{мю α}^{мю} г^{α ν} + Г_{мю α}^{ν} г^{мю α} .

$0=\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \partial_0 G^{0\nu}+\partial_i G^{i\nu} + \Gamma^\mu_{\mu\alpha}G^{\alpha \nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}G^{\mu\alpha}.$ Это говорит нам о том, что первая производная по времени (

\partial_{0}

$\partial_0$ ) из

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ связано с пространственными производными от

G^{i ν}

$G^{i\nu}$ а также термины без производных от

G^{μ α}

$G^{\mu\alpha}$ . Здесь важно то, что это тождество , поэтому оно сохраняется, даже если вы не накладываете вакуумные уравнения Эйнштейна.

G^{μ ν} = 0

$G^{\mu\nu}=0$ . Тензор

G^{μ ν}

$G^{\mu\nu}$ имеет две производные от метрики. Но если

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ если бы появились две производные по времени , не было бы никакого способа удовлетворить тождество Бьянки, потому что ни один другой член в тождестве не имеет трех производных по времени, действующих на метрику. Это означает

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ не являются эволюционными уравнениями - они включают только одну производную по времени от динамических переменных и, таким образом, являются ограничениями начального значения. Так что это убивает 4 степени свободы, и вы убиваете еще 4 из-за фиксации датчика. Вот как вы получаете

10 - 4 - 4 = 2

$10-4-4=2$ Степени свободы в общей теории относительности.

Что касается вашего второго вопроса, да, общая теория относительности описывает две степени свободы безмассовой частицы со спином 2.

Таким образом, в ОТО 4 условия координат отменяют 4 степени свободы $g_{\mu\nu}$ , и $0-0$ , $0-i$ компоненты $G_{\mu\nu}=0$ 4 ограничения, поэтому они могут отменить еще 4 степени свободы. Поэтому только $2=10-4-4$ ДОФ остались.
@user34669 user34669 Верно, и на самом деле я думаю, что в данном случае имеет значение, вверх или вниз идут индексы, т.е. $G^{00}$ и $G^{0i}$ - это уравнения, на которые вы хотите посмотреть, чтобы получить ограничения.

Тримок · Answer 2

Интересно взглянуть на линеаризованную версию гравитации с $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$

Если вы выберете датчик Лоренца:

\begin{matrix} (0) & \partial^{мю} {\bar{час}}_{мю ν} "=" 0 {\bar{час}}_{мю ν} "=" {час}_{мю ν} - \frac{1}{2} {час}_{я}^{я} η_{мю ν} \end{matrix}

$\partial^\mu \bar h_{\mu\nu}=0 \quad\quad \bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} h^i_i \,\eta_{\mu\nu} \tag{0}$ уравнения движения в вакууме выглядят просто:

\begin{matrix} (1) & ◻ {\bar{час}}_{мю ν} "=" 0 \end{matrix}

$\square \bar h_{\mu\nu}=0 \tag{1}$

Датчик Лоренца убивает $4$ степени свободы. Более того, существует остаточная калибровочная свобода, совместимая с калибровкой Лоренца, мы можем рассмотреть преобразование:

\begin{matrix} (2) & {час}_{мю ν} \to {час}_{мю ν} + \partial_{мю} ξ_{ν} + \partial_{ν} ξ_{мю} ◻ ξ_{мю} "=" 0 \end{matrix}

$h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu \quad\quad \square \xi_\mu = 0\tag{2}$ С точки зрения

{\bar{h}}_{μ ν}

$\bar h_{\mu\nu}$ , это дает :

\begin{matrix} (3) & {\bar{час}}_{мю ν} \to {\bar{час}}_{мю ν} + \partial_{мю} ξ_{ν} + \partial_{ν} ξ_{мю} - (\partial^{я} ξ_{я}) η_{мю ν} \end{matrix}

$\bar h_{\mu\nu} \to \bar h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu - (\partial^i \xi_i) \eta_{\mu\nu} \tag{3}$

Легко видеть, что это преобразование совместимо с калибровкой Лоренца, и у вас есть абсолютная свобода на $\xi_\mu$ , так это убивает $4$ другие степени свободы.

Наконец, вы получите $10-4-4=2$ степени свободы.

Итак, как вы сказали, свобода 4 калибра может отменить 8 степеней свободы. $g_{\mu\nu}$ ?
У вас есть $4$ степень свободы убита калибровкой Лоренца, но есть «остаточная калибровочная свобода», совместимая с калибровкой Лоренца, которая убивает $4$ другие степенями свободы

Вопросы о степени свободы в общей теории относительности

346699

Джерри Ширмер

Ответы (2)

асперанц

346699

асперанц

Тримок

346699

Тримок

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля

Инфинитезимальные преобразования для релятивистской частицы

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

Задержка и сдвиг в разложении ADM

Почему гамильтониан равен нулю в теории относительности?

Гамильтониан для безмассовой частицы - формальное определение энергии

Тензор Риччи как релятивистский гамильтониан

Формализм Гамильтона или Гамильтона-Якоби с гамильтонианом, равным нулю

Алгоритм Дирака-Бергмана, не оканчивающийся в (1+1)-мерной U(1)U(1)U(1) заряженной скалярной КЭД