Всегда ли волновая функция свободной частицы может быть записана как некоторая линейная комбинация более простых волновых функций?

В различных объяснениях, которые я читал, из того, что я собрал, все частицы имеют волновую функцию. Ψ ( р , т ) где р - это декартовы координаты во многих измерениях, в которых вы работаете. Таким образом, в обычном трехмерном пространстве волновая функция Ψ ( Икс , у , г , т ) .

Мой первый вопрос: при каких условиях волновая функция частицы является чисто квантовым состоянием? Если я возьму электрон и полностью изолирую его от остальной Вселенной, будет ли он в чистом квантовом состоянии? Возможно ли это вообще и как это связано с собственными функциями, которые появляются, когда вы воздействуете на волновую функцию каким-либо оператором? Например, когда оператор импульса или оператор положения воздействуют на волновую функцию, мы получаем:

п ^ 𝛹 "=" п 1 𝜓 1 + п 2 𝜓 2 . . . + п н 𝜓 н

и

Икс ^ 𝛹 "=" Икс 1 𝜓 1 + Икс 2 𝜓 2 . . . + Икс н 𝜓 н

Являются ли эти функции 𝜓 н то же самое для импульса и положения? Делает 𝜓 1 в уравнении импульса "=" 𝜓 1 в уравнении положения? И какой вид имеют эти функции, я так понимаю, что плоскую волну можно записать в виде е я ( к Икс − ю т ) , а какие из этих функций в таком виде? Имеются ли собственные функции в этой форме или полная волновая функция Ψ в этой форме или ни один из них?

Извините, если это очень запутанный или плохо сформулированный вопрос, я с радостью проясню все, что не имеет смысла. Мне просто очень трудно соединить вещи в своей голове, и если я не смогу понять это, я не чувствую, что когда-либо получу удовлетворительное понимание этой темы.

Для справки, я учусь на 3-м курсе химии, поэтому мое понимание математики/физики не впечатляет, но оно не совсем отсутствует.

Спасибо за любые ответы заранее, я действительно ценю это.

Ответы (3)

Я постараюсь ответить на ваши вопросы в том порядке, в котором они были заданы.

Абсолютная чистота невозможна в реальном мире. Однако, если вы ограничите область своего эксперимента и будете искать свойства частиц в определенной шкале времени и расстояния, можно создать состояние, которое ведет себя аналогично чистому состоянию. (Другими словами, если ваш эксперимент длится очень короткое время и происходит в ограниченном пространстве - вы можете минимизировать влияние внешнего мира на вашу частицу).

Функции ψ я отличаются для Икс ^ и п ^ из-за принципа неопределенности. Эти волновые функции являются собственными состояниями этих операторов, и, поскольку они не коммутируют, они не могут быть одинаковыми.

Собственные состояния импульса действительно имеют форму плоской волны, в то время как собственные состояния положения имеют форму дельта-функции . Это очень естественно, когда волновая функция рассматривается как распределение вероятностей. Собственное состояние Икс ^ это частица, которая находится в фиксированном положении. Таким образом, в этом конкретном месте волновой функции имеется острый пик, а в остальных местах - нули.

Что касается остального, то, что вы ищете, называется отношением полноты . Волновую функцию можно разложить на сумму конечного (или бесконечного) числа собственных состояний конкретного оператора. Оператор может быть Икс ^ , п ^ , или даже гамильтониан ЧАС ^ сам.

1/2 Большое спасибо, что нашли время ответить. Если вы не возражаете, у меня есть несколько дополнительных вопросов, я пронумерую их, как вы разделили свои ответы. 1. Таким образом, невозможно на 100% изолировать частицу в космосе, потому что ее волновая функция всегда имеет некоторое перекрытие с волновой функцией любой другой частицы во Вселенной, поскольку волновые функции (по крайней мере, в принципе) простираются бесконечно. 2. Кажется, я понял, значит, коммутирующие операторы имеют одинаковые собственные функции и собственные значения? Не поэтому ли измерение одного не влияет на другое, потому что они одинаковы? (с ума сойти, если правда).
2/2 - 3. Это на самом деле рационализирует то, что меня долгое время смущало, форму, которую принимают собственные функции импульса и положения относительно. друг друга, спасибо. Какой вид в этом случае имеет полная волновая функция 𝛹(r,t)? Является ли волновая функция просто функцией, которую вы получаете, когда берете все собственные функции для всех операторов и складываете их все вместе с собственными значениями? Не поэтому ли точное решение уравнения Шредингера так чудовищно сложно для всего, кроме самых простых одночастичных систем? 4. Буду читать по полноте, спасибо за ссылку.
Коммутирующие операторы/наблюдаемые могут быть измерены, не влияя друг на друга. / Волновая функция — это нормализованное распределение вероятностей, которое также является решением уравнения Шрёдингера, может быть разложено на сумму собственных состояний и может иметь любую форму, удовлетворяющую S.eq. Трудно решить ее точно, за исключением нескольких случаев.
Чего ждать?! Почему вы утверждаете, что собственные состояния импульса имеют форму плоской волны, а собственные состояния положения имеют форму дельта-функции? Мы имеем дело со свободной частицей. Почему вы полагаете, что мы точно знаем его положение? Это совершенно странно. Я бы предпочел утверждать, что собственные состояния импульса и положения представляют собой сумму плоских волн, чтобы сохранить проблему в наиболее общем случае.
@ no_choice99 в этом весь смысл QM; волновая функция изначально представляет собой вероятностную суперпозицию возможных состояний. Если бы мы измеряли положение или импульс частицы, волновая функция коллапсировала бы в собственное состояние этого оператора. Собственные состояния оператора положения являются дельта-функциями. Затем отношение полноты говорит нам, что они образуют основу для нашего соответствующего гильбертова пространства, независимо от того, свободна ли частица или нет.
Я знаю это, но это не то, что утверждал пост. Я согласен с отредактированным сообщением сейчас. Было указано, что волновая функция свободной частицы представляет собой плоскую волну в импульсном базисе и дельта-функцию в базисе положения. Это было неправильно. Это могло бы быть правдой, например, если бы кто-то просто сжал волновую функцию частицы, но это вовсе не требование.

Базис есть базис, поэтому, если у вас есть полный набор функций, вы можете использовать его для расширения чего угодно, включая волновые функции свободных частиц.

Почему вы хотите это сделать, это другой вопрос: это, по-видимому, будет зависеть от физики вашей проблемы. В конце концов, выбор одного базисного набора вместо другого — скажем, сферического, а не декартова — обычно делается потому, что некоторые свойства более очевидны в одном базисном наборе, чем в другом.

На самом деле это поднимает еще одну проблему, с которой я столкнулся, когда пытался изучить: то, как мы подходим к «базисным наборам» в химии, очень не абстрагируется от фактического математического значения базисного набора. Моя самая большая проблема, с которой я сталкиваюсь при изучении QM, заключается в том, что если я не могу полностью объединить и соединить все, что я пытался выучить, в своей голове и понять, как все это связано, весь образ просто разваливается для меня, и я чувствую, что я ничему не научился. Моя настоящая цель — понять, как базовый (и, в конечном итоге, более продвинутый) КМ может быть выведен математически, я чувствую, что это единственный способ, которым я действительно чувствую, что понимаю его.
Я искал в Интернете объяснение, но многие из них погружаются или используют обозначения или идеи из областей математики, которых я никогда в жизни не касался, что затрудняет понимание. Например, насколько я понимаю, базисные векторы i и j можно использовать для представления любого вектора в R ^ 3 как линейной комбинации самих себя. Но что значит «изменить базисные наборы», включает ли это исключительно изменение координат, например, на сферические полярные координаты? Каждая система координат имеет только один «базисный набор»? Если нет, что может быть другим примером базового набора в R ^ 3? Есть бесконечные?
@ Терри, да, их бесконечно много. Подумайте, например, о двух декартовых множествах со вторым, повернутым относительно первого. Ключевым математическим элементом является связь с системами Штурма-Лиувилля: решения некоторых типов дифференциальных уравнений «естественным образом» допускают полный набор функций. Оказывается, уравнение Шредингера в большинстве случаев является задачей Штурма-Лиувилля (всегда есть математические оговорки).

Во-первых, волновые функции не описывают частицы, они описывают системы . Например, если у вас есть система из двух частиц (скажем, два электрона в гелии), волновая функция описывает систему.

Теперь, если ваша система состоит из одной частицы и гамильтониана ЧАС ^ , затем Ψ н является чистым состоянием, если:

ЧАС ^ Ψ н "=" Е Ψ н
и Ψ не может быть выражена как линейная комбинация других чистых состояний Ψ л ; другими словами Ψ есть состояние определенной энергии.

Для второй части вашего вопроса давайте рассмотрим общий оператор А ^ :

Если А ^ оператор, связанный с наблюдаемой А , затем:

А ^ ψ н "=" А н ψ н
Значит это А н (собственные значения А ^ ) являются единственно возможными результатами измерения А . ψ (собственные функции А ^ ) являются состояниями определенных А (в ваших примерах А это положение и импульс).

Набор собственных функций ψ н иметь свойство, которое Ψ может быть выражена как линейная комбинация состояний определенного А .

Ψ "=" ∑ н а н ψ н

А ^ Ψ "=" ∑ н а н А н ψ н

Если у вас есть разные операторы, у вас будут разные собственные функции, но вы все равно можете выразить Ψ как линейную комбинацию этих других собственных функций.

Спасибо за ваш ответ. Надеюсь, вы не возражаете, если я задам несколько уточняющих вопросов. Там, где вы сказали, что волновая функция Ψ(r,t) описывает систему в целом, возможно ли представить всю систему ВФ как сумму отдельных ВФ, которые описывают частицы внутри нее? Если да, то какую форму примет ВФ системы с одной частицей, если вы запишете ее математически? (Если это слишком сложно для записи в общем, будет ли это, например, сумма нагрузки воображаемых экспоненциальных функций e ^ i (kx-wt)?
Многочастичная волновая функция в общем случае не может быть разложена на одночастичные волновые функции. Например, состояние Белла нельзя выразить как произведение одночастичных состояний. Когда это возможно, они называются состояниями продукта и действительно полезны, поскольку это означает, что квантовые числа, характеризующие каждое состояние, могут быть изучены отдельно (например, при решении радиальной и угловой составляющих TISE для атома водорода).
Всегда ли волновая функция свободной частицы может быть записана как некоторая линейная комбинация более простых волновых функций?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v