Является ли данная плотность заряда поверхностной плотностью заряда или объемной плотностью заряда?

Это уравнение всегда даст вам объемную плотность заряда. Один из способов увидеть это состоит в том, что поверхностная плотность заряда и объемная плотность заряда имеют разные единицы измерения —$\mathrm{C/m^2}$и$\mathrm{C/m^3}$соответственно - и для того, чтобы единицы были согласованы,$\rho$должно быть последним. Тот факт, что уравнение написано с$\rho$полезно напомнить, что это объемная плотность заряда.

Конечно, имейте в виду, что потенциал не$kx^{4/3}$ везде . Эта функция описывает потенциал только в определенной области. Вы также должны думать о том, что происходит за пределами этого региона и на его границах.

Если вы попытаетесь решить уравнение Пуассона$\nabla^2\varphi = -\rho/\epsilon_0$в области, где потенциал ведет себя не так хорошо (как здесь, если подумать о границах), вы можете получить решение, включающее дельта-функцию. Просто чтобы взять пример из воздуха, что-то вроде

Это признак поверхностной плотности заряда, выраженной как объемная плотность заряда.$\sigma$часть, отличная от дельта-функции; в общем:

так что в этом чисто гипотетическом примере можно было заметить, что$\sigma(y, z) = e^{-y^2 - z^2}$.

Это согласуется с утверждением, что плотность поверхностного заряда соответствует неоднородностям электрического поля, поскольку помните, что уравнение Пуассона можно записать в виде

Когда$\vec{E}$разрывен, его производная «бесконечна», а значит$\rho$необходимо представить в виде произведения, включающего дельта-функцию.

Поскольку это проводник, заряды находятся на поверхности. Заявление о том, что$d$маленький означает, что вы должны смоделировать это как бесконечную плоскую поверхность. Вы можете вычислить электрическое поле сразу за проводником, взяв$\frac {d\varphi}{dx}$Электрическое поле внутри проводника равно нулю, потому что это проводник. У вас должна быть формула, которая дает изменение поля при пересечении поверхностной плотности заряда.