Являются ли перпендикулярные компоненты особыми в векторах?

Я собираюсь предположить, что вы еще не изучали линейную алгебру, извините, если вам покажется, что я говорю с вами снисходительно в любой момент.

Вы правы в том, что мы можем разделить вектор на две составляющие на плоскости. Это связано с тем, что любые два линейно независимых (не параллельных или антипараллельных) вектора образуют базис (набор векторов, из которого вы можете «построить» другие векторы путем сложения и скалярного умножения) для$\mathbb{R}^2$(и вообще n векторов для$\mathbb{R}^n$). Можно «заниматься физикой» в любой из этих систем координат, но, как вы сказали, взаимно перпендикулярные (ортогональные) гораздо проще вычислять. Большая часть этого из-за «независимости». В ньютоновской механике мы часто используем идею о том, что движение по осям x и y (и z,$x_4,x_5, \dots$) не зависят от движения в других (т.е. мы можем применить законы Ньютона к каждой силе отдельно).

Теперь представьте, что у нас есть неортогональный базисный набор векторов, например, ось X и вектор против часовой стрелки в точке$45^\circ$. Если взять произвольную точку, то ее нельзя переместить по одной оси, не переместив при этом и по другой. Таким образом, исчезает независимость движения, и в целом мы получаем гораздо более сложную систему дифференциальных уравнений, чем в ортонормированном случае.

Эта идея проявляется и на более высоком уровне при изучении рядов Фурье. Это состоит в записи функции в терминах комплексных экспонент. Это связано с тем, что комплексные экспоненты образуют ортогональный базис для$L^2$, пространство абсолютно интегрируемых с квадратом функций. Космос$L^2$очень важно, так как одна из аксиом квантовой механики состоит в том, что все волновые функции принадлежат ей (и более того, являются в ней единичными векторами).

На самом деле любое гильбертово пространство (пространство, в котором сходящиеся последовательности остаются в пространстве, а пространство имеет «точечный продукт») допускает ортогональный базис. Это следствие леммы Цорна (эквивалентное утверждение аксиомы выбора). Подобные вопросы относятся к функциональному анализу, бесконечномерному родственнику линейной алгебры.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это ответ на комментарий с просьбой объяснить «независимость» подробнее.

Назовем нашу исходную ортогональную систему отсчета$S$и наша новая база$S^\prime$. Координаты точки в разностной системе координат$\xi_S, \xi_{S^\prime}$они связаны

$$\begin{align} \xi_{S^\prime} = A\xi_S \\ A = (\begin{smallmatrix} a&b\\ c&d \end{smallmatrix}) \end{align}$$

Так что если$\xi_S = (x, y), \xi_{S^\prime} = (\alpha, \beta)$то у нас было бы это

$$\begin{align} ax + by = \alpha \\ cx + dy = \beta \end{align}$$ Итак, если мы будем двигаться по $\alpha$или $\beta$ось, то в целом оба $x$и $y$изменится. В случае выше $x = \alpha$, так $c\alpha + dy = \beta$. Итак, если мы пойдем по $\beta$-ось, мы также должны изменить $\alpha = x$и $y$координировать. Поэтому мы не можем двигаться вперед $\beta$не двигаясь $\alpha$.