Застрял с выводом корреляционной функции из статистической механики Хуанга.

Question

Застрял с выводом корреляционной функции из статистической механики Хуанга.

Физика
фаза перехода
преобразование Фурье
критические явления
корреляционные функции
статистическая механика

СРС

Контекст

Раздел $16.2$ Статистической механики Керсона Хуанга ( $2$ 2-е издание) касается вывода двухточечной корреляционной функции $\Gamma({\bf r})$ , определяемый через плотность параметра порядка $m({\bf r})$ как

\begin{matrix} (1) & Г (р) \equiv ⟨ м (р) м (0) ⟩ - ⟨ м (р) ⟩ ⟨ м (0) ⟩ \end{matrix}

$\Gamma({\bf r})\equiv \big\langle m({\bf r})m(0)\big\rangle-\big\langle m({\bf r})\big\rangle\big\langle m(0)\big\rangle\tag{1}$ где

⟨ . . ⟩

$\langle..\rangle$ обозначает среднее значение по ансамблю. Чтобы быть явным, например,

⟨ м (р) ⟩ \equiv \sum_{м (р)} м (р) е^{- β ЧАС}

$\langle m({\bf r})\rangle\equiv \sum\limits_{m({\bf r})}m({\bf r})e^{-\beta\mathcal{H}}$ где

H

$\mathcal{H}$ является гамильтонианом системы. Все это хорошо, но я застрял с чем-то, что обычно является довольно тривиальным шагом!

Он использует преобразование Фурье и соглашение об обратном преобразовании.

\begin{matrix} (2) & м (р) "=" \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3}} е^{+ я к \cdot р} \tilde{м} (к), \tilde{м} (к) "=" \int г^{3} Икс е^{- я к \cdot р} м (р) . \end{matrix}

$m({\bf r})=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} e^{+i{\bf k}\cdot{\bf r}}\tilde{m}({\bf k}),~~ \tilde{m}({\bf k})=\int d^3x e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}m({\bf r}).\tag{2}$ При этом он делает сомнительное утверждение, что (см.

16.11

$16.11$ ),

\begin{matrix} (3) & ⟨ \tilde{м} (к) \tilde{м} (п) ⟩ "=" (2 π)^{3} {дельта}^{(3)} (к + п) | \tilde{м} (к) |^{2} . \end{matrix}

$\boxed{\big\langle\tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\big\rangle=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf k}+{\bf p})|\tilde{m}({\bf k})|^2.}\tag{3}$ Чтобы вывести уравнение (3), обычно следует действовать

\begin{matrix} (4) & ⟨ \tilde{м} (к) \tilde{м} (п) ⟩ "=" ⟨ \int г^{3} Икс \int г^{3} {Икс}^{'} е^{- я к \cdot р} е^{- я п \cdot р^{'}} м (р) м (р^{'}) ⟩ \end{matrix}

$\big\langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\big\rangle=\big\langle\int d^3x \int d^3x^\prime e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot{\bf r}^\prime} m({\bf r})m({\bf r}^\prime)\big\rangle\tag{4}$ если бы два импульса были равны. Но здесь я не вижу никакого стандартного способа свести его к выражению

(3)

$(3)$ . Итак, вопрос в том, как он получает уравнение.

(3)

$(3)$ ?

Суньям

По-видимому, полагает Хуан, система однородна, т. е.

⟨ m (r) m (r^{'}) ⟩ = ⟨ m (r - r^{'}) m (0) ⟩

$\langle m(r) m(r^\prime) \rangle = \langle m(r-r^\prime) m(0) \rangle$ .

СРС

Это нормально. Да, это так. Но как получить уравнение

(3)

$(3)$ ? @Суньям

Суньям

Если одно преобразование Фурье относительно

r

$r$ а затем с помощью теоремы о сдвиге Фурье приводит к уравнению. (3).

СРС

Я не мог уследить. Можете ли вы предоставить некоторые шаги?

Суньям

\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{- i (ω_{1}^{} t_{1}^{} + ω_{2}^{} t_{2}^{})} G (t_{1}, t_{2}) = \int d T \int d τ e_{}^{- i ((ω_{1}^{} + ω_{2}^{}) T + (ω_{1}^{} - ω_{2}^{}) \frac{τ}{2})} G (T + \frac{τ}{2}, T - \frac{τ}{2}) = \int d T \int d τ e_{}^{- i (ω_{1}^{} + ω_{2}^{}) T} e_{}^{- i (\frac{ω_{1}^{} - ω_{2}^{}}{2}) τ} G (\frac{τ}{2}, - \frac{τ}{2})

$\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{-i (\omega_{1}^{}t_{1}^{} + \omega_{2}^{} t_{2}^{})} G(t_1,t_2) = \int dT \int d\tau e_{}^{-i\left((\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T + (\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{})\frac{\tau}{2}\right)} G(T+\frac{\tau}{2},T-\frac{\tau}{2})=\int dT \int d\tau e_{}^{-i(\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T}e_{}^{-i (\frac{\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{}}{2})\tau} G(\frac{\tau}{2},-\frac{\tau}{2})$ .

Ответы (1)

Застрял с выводом корреляционной функции из статистической механики Хуанга.

По-видимому, полагает Хуан, система однородна, т. е. $\langle m(r) m(r^\prime) \rangle = \langle m(r-r^\prime) m(0) \rangle$ .
Это нормально. Да, это так. Но как получить уравнение $(3)$ ? @Суньям
Если одно преобразование Фурье относительно $r$ а затем с помощью теоремы о сдвиге Фурье приводит к уравнению. (3).
Я не мог уследить. Можете ли вы предоставить некоторые шаги?
$\int d t_{1} \int d t_{2} e_{}^{-i (\omega_{1}^{}t_{1}^{} + \omega_{2}^{} t_{2}^{})} G(t_1,t_2) = \int dT \int d\tau e_{}^{-i\left((\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T + (\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{})\frac{\tau}{2}\right)} G(T+\frac{\tau}{2},T-\frac{\tau}{2})=\int dT \int d\tau e_{}^{-i(\omega_{1}^{}+\omega_{2}^{})T}e_{}^{-i (\frac{\omega_{1}^{}-\omega_{2}^{}}{2})\tau} G(\frac{\tau}{2},-\frac{\tau}{2})$ .

Кнчжоу · Answer 1

У нас есть

\begin{aligned} ⟨ \tilde{м} (к) \tilde{м} (п) ⟩ & "=" ⟨ \int г р \int г р^{'} е^{- я к \cdot р} е^{- я п \cdot р^{'}} м (р) м (р^{'}) ⟩ \\ "=" \int г р \int г р^{″} е^{- я к \cdot р} е^{- я п \cdot (р + р^{″})} ⟨ м (р) м (р + р^{″}) ⟩ \\ "=" \int г р \int г р^{″} е^{- я (к + п) \cdot р} е^{- я п \cdot р^{″}} ⟨ м (0) м (р^{″}) ⟩ \\ "=" (2 π)^{3} дельта (к + п) \int г р^{″} е^{- я п \cdot р^{″}} ⟨ м (0) м (р^{″}) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\rangle &= \bigg\langle\int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}' e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot{\bf r}^\prime} m({\bf r})m(\mathbf{r}')\bigg\rangle \\ &= \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}'' e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot (\mathbf{r} + \mathbf{r}'')} \langle m({\bf r})m(\mathbf{r} + \mathbf{r}'') \rangle\\ &= \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{r}'' e^{-i (\mathbf{k} + \mathbf{p}) \cdot{\bf r}}e^{-i{\bf p}\cdot \mathbf{r}''} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r}'')\rangle \\ &= (2 \pi)^3 \delta(\mathbf{k} + \mathbf{p}) \int d\mathbf{r}'' e^{-i{\bf p}\cdot \mathbf{r}''} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r}'')\rangle\\ \end{align}$ где я переместил переменную интегрирования на

r^{″} = r^{'} - r

$\mathbf{r}'' = \mathbf{r}' - \mathbf{r}$ и использовал линейность ожидания, затем использовал трансляционную симметрию, затем сделал

r

$\mathbf{r}$ интеграл.

Предположительно, это означает, что Хуанг определяет

| \tilde{м} (к) |^{2} "=" \int г р е^{- я к \cdot р} ⟨ м (0) м (р) ⟩ .

$|\tilde{m}(\mathbf{k})|^2 = \int d\mathbf{r} \, e^{-i{\bf k}\cdot \mathbf{r}} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r})\rangle.$ Это очень вводящее в заблуждение обозначение, потому что правая часть на самом деле не равна норме, квадрату

\tilde{m} (k)

$\tilde{m}(\mathbf{k})$ , как видно из размерного анализа. (Он тесно связан, как можно видеть, адаптируя вышеприведенное рассуждение, но отличается в несколько раз.

(2 π)^{3} δ (0)

$(2\pi)^3 \delta(\mathbf{0})$ .) Если бы Хуанг был осторожен, он бы использовал другое обозначение, например

С (к) "=" \int г р е^{- я к \cdot р} ⟨ м (0) м (р) ⟩

$S(\mathbf{k}) = \int d\mathbf{r} \, e^{-i{\bf k}\cdot \mathbf{r}} \langle m({\bf 0})m(\mathbf{r})\rangle$ что является стандартным обозначением спектральной плотности мощности, и в этом случае окончательный результат будет

⟨ \tilde{м} (к) \tilde{м} (п) ⟩ "=" (2 π)^{3} дельта (к + п) С (к) .

$\langle \tilde{m}({\bf k})\tilde{m}({\bf p})\rangle = (2 \pi)^3 \delta(\mathbf{k} + \mathbf{p}) S(\mathbf{k}).$ Но почему Хуан использовал такие плохие обозначения? У меня сложилось впечатление, что в целом это просто небрежно, что объясняет чрезвычайно плохие отзывы о книге в Интернете. Внимательные книги, такие как Кардар, никогда не допустили бы таких ошибок.

Застрял с выводом корреляционной функции из статистической механики Хуанга.

СРС

Суньям

СРС

Суньям

СРС

Суньям

Ответы (1)

Кнчжоу

Почему спиновые корреляционные функции в моделях Изинга экспоненциально затухают ниже критической температуры?

Как понять двухточечную корреляционную функцию в импульсном пространстве?

Фазовые переходы первого и второго рода

Критическая температура и размер решетки с помощью алгоритма Вольфа для двумерной модели Изинга

Каково определение длины корреляции для модели Изинга?

Можно ли полагаться на термодинамику в критической точке?

Масштабно-инвариантна ли свободная энергия Ландау в критической точке?

А как насчет критических показателей и RG-потока в верхнем критическом измерении D=4D=4D=4?

Всегда ли фазовые переходы первого рода связаны со скрытой теплотой?