Является ли 0m0m0\,\mathrm{m} безразмерным?

Это действительно не так уж и важно. В сущности, однако, размеры нуля плохо определены, и$[0]$(т. е. размерность нуля) (а) не определена по смыслу и (б) никогда не используется на практике.

Начну с того, что проясню одну вещь:

Было бы неправильно отказаться от единиц измерения$0 \,\mathrm m$как это в академической статье?

Да, это совершенно нормально, и это стандартная практика.

Карта размерности$[\,·\,]$имеет несколько различных соглашений , но все они работают примерно одинаково. Ключевым фактом является то, что физические величины образуют векторное пространство при умножении с возведением в степень (по полю$\mathbb Q$), взяв на себя роль скалярного умножения. (Кстати, это основная причина, по которой анализ размерностей часто сводится к системам линейных уравнений.) Различные базовые измерения — масса, длина, время, электрический заряд и т. д. — предполагаются алгебраически независимыми и охватывают пространство и карта размерности$[\,·\,]$считывает «координаты» данной физической величины в терминах некоторого заранее выбранного канонического базиса.

Однако это работает только в том случае, если вы исключите ноль из игры. Количество$1\,\mathrm m$имеет мультипликативную обратную, но$0\,\mathrm m$нет, поэтому, если вы включите его, это нарушит аксиомы векторного пространства. В целом это нормально — вы не обязаны сохранять эти свойства — но это не позволяет вам использовать инструменты, построенные на этом векторном пространстве, в первую очередь карту размерности. Таким образом$[0]$ни на что не сопоставляется.

---

Поскольку вы явно просили об этом, вот один из способов формализовать то, что я сказал выше. (Еще один хороший анализ см. в этом замечательном посте в блоге Терри Тао.)

• Положительная физическая величина состоит из 8-кратного набора$(x,m,l,t,\theta,c,q,i) \in\mathbb R^\times\times \mathbb Q^7$, куда$\mathbb R^\times=(0,\infty)$реальная мультипликативная группа. Обычно это отображается в виде $$x\,\mathrm{kg}^m\mathrm{m}^l\mathrm s^t\mathrm K^\theta\mathrm A^c \mathrm{mol}^q \mathrm{cd}^i.$$
• Умножение двух физических величин$p=(x,m,l,t,\theta,c,q,i)$а также$p'=(x',m',l',t',\theta',c',q',i')$определяется как $$pp'=(xx',m+m',l+l',t+t',\theta+\theta',c+c', q+q',i+i').$$ Мультипликативная идентичность$1=(1,0,0,0,0,0,0,0)$, и мультипликативная обратная$p$является$1/p=(1/x,-m,-l,-t,-\theta,-c,-q,-i)$.
• Возведение физической величины в степень$p$в экспоненту$r\in\mathbb Q$определяется как $$p^r=(x^r,rm,rl,rt,r\theta,rc,rq,ri).$$

Затем вы можете легко проверить, что эти две операции удовлетворяют аксиомам векторного пространства. Вышеупомянутая конструкция, по сути, представляет собой конкретную реализацию абстрактного векторного пространства.$\mathcal Q$физических величин, но достаточно взять один конкретный пример, чтобы показать, что это работает.

Кстати, выбор для$\mathbb Q$как скалярное поле, потому что (а) оно важно для структуры векторного пространства и (б) все же разумно иметь такие вещи, как$\mathrm {m}^{-3/2}$(например, единицы волновой функции). С другой стороны, такие вещи, как$\mathrm {m}^{\pi}$не может быть осмыслен.

Карта размерности$[\,·\,]$есть, прежде всего, отношение эквивалентности, отношение соизмеримости. То есть мы говорим, что для$p,p'\in\mathcal Q$,

$$[p]=[p']\Leftrightarrow p/p'=(x,0,0,0,0,0,0,0)\text{ for some }x\in\mathbb R^\times.$$ На самом деле это все, что вам действительно нужно для размерного анализа, как я утверждал здесь , но все же полезно немного продолжить.

Действительно полезным векторным пространством, если вы хотите провести анализ измерений, является векторное пространство физических измерений: пространство физических величин, когда мы забываем об их числовом значении. Это факторпространство _$\mathcal Q$над отношением эквивалентности соизмеримости:

$$\mathcal D=\mathcal Q/[\,·\,]=\{[p]\,:\,p\in\mathcal Q\}.$$ (Здесь я немного злоупотребил обозначениями, чтобы сделать $[p]$класс эквивалентности $p$, т.е. совокупность всех физических величин, соизмеримых $p$.) Векторное пространство физических размерностей, $\mathcal D$, имеет те же операции, что и в $\mathcal Q$:

• $[p][p']=[pp']$, а также
• $[p]^r=[p^r]$.

Легко проверить, что эти определения не зависят от конкретных представителей$p$а также$p'$, поэтому операции четко определены.

Размерный анализ происходит в$\mathcal D$. Из приведенных выше определений вы можете доказать, что семь основных единиц дают основу$\{[1\,\mathrm {kg}], [1\,\mathrm m],\ldots,[1\,\mathrm{cd}]\}$за$\mathcal D$. Хотя более физически

• семь основных единиц алгебраически независимы, что означает, что они не могут быть выражены как кратные друг другу, и
• их достаточно, чтобы зафиксировать размерности всех физических величин.

Это ключевые физические требования к набору базовых единиц для абстрактного пространства.$\mathcal Q$.

После этого у вас все готово, на самом деле. И должно быть ясно, что в эту схему вообще никак нельзя вписать ноль.

Является$0~\mathrm{m}=0~\mathrm{s}=0~\mathrm{kg}=0$?

Нет. Не в соответствии с приведенным ниже. (Который имеет множество цитат.)

Из http://www-ksl.stanford.edu/knowledge-sharing/papers/engmath.html :

Для каждой физической размерности класс постоянных скалярных величин физической размерности образует абелеву группу с оператором сложения + и нулевым единичным элементом для этой размерности ( нули каждой размерности разные ). Класс всех скаляров любой размерности после удаления нулевых скаляров образует абелеву группу относительно умножения. [Мой акцент.]

Из http://www-ksl.stanford.edu/knowledge-sharing/ontologies/html/physical-quantities/physical-quantities.lisp.html :

Нулевая величина — это величина, которая при умножении на любую величину дает другую нулевую величину (возможно, тот же самый нуль). Класс нулевых величин включает число 0 и нулевые величины для каждой физической размерности и порядка тензора.

В: Почему бы не сделать одну нулевую вещь, которая следует нашей [т.е. вашей] интуиции?

A: Мы должны были бы сделать исключения для всех наших операторов над величинами, которые зависят от физической размерности или тензорного порядка. [Мой акцент.]

---

Кроме того, из BIPM (« Уважай мой авторитет »):

Значение количества обычно выражается как произведение числа на единицу . Единица — это просто частный пример рассматриваемой величины, который используется в качестве ссылки, а число — это отношение значения величины к единице. [Мой акцент.]

Я почти уверен, что единственным исключением из вышеприведенного «обычного» является случай, когда единица номер один,$1$.

Значит, все-таки нет .

Физика — это измеряемые величины. Количество значащих цифр представляет неопределенность измерения. Разница в длине 0 см означает 0,0 ± 0,5 см, тогда как разница в весе 0 кг означает 0,0 ± 0,5 кг. Следовательно, в физике 0 см — это не 0 кг.

Но как насчет утверждения типа «вес 0 бананов равен 0». Кто-то может безошибочно интерпретировать этот «вес» как математический ноль и заключить, что вес нулевых бананов равен длине нулевых бананов. Однако эта интерпретация не связана с реальными измерениями, поэтому она выходит за рамки физики.