Напряженность поля обращается в нуль тогда и только тогда, когда AµAµA_{\mu} является чисто калибровочным

TL;DR: Исчезающая сила поля$F=0$не означает, что калибровочный потенциал$A$является чистой калибровкой. Держится только локально. Могут быть глобальные препятствия. На самом деле топологические препятствия могут возникнуть, даже если калибровочная группа$G$является абелевой.

Подробнее:

1. Отправной точкой является связная (но не обязательно односвязная) калибровочная группа Ли.$G$и глобально определенный калибровочный потенциал$A$на связном (но не обязательно односвязном) пространственно-временном многообразии$M$. В этом ответе ковариантная производная по соглашению$\mathrm{D}=\mathrm{d}-A$, т.е.$A$обычно является антиэрмитовой матричнозначной 1-формой. Калибровочное преобразование принимает вид

   $$A^{\prime}~=~-U(\mathrm{D} U^{-1}), \qquad U~\in~G.\tag{1}$$

2. Давайте разогреемся, рассмотрев простой способ. Если$A^{\prime}$чистая калибровка$A^{\prime}=-U(\mathrm{d} U^{-1})$, то существует калибровочное преобразование (1) такое, что новый калибровочный потенциал$A=0$тождественно обращается в нуль, и, следовательно, (новая и старая) напряженности поля$F^{\prime}=UFU^{-1}=0$исчезают одинаково.

3. Затем вернемся к вопросу ОП и набросаем доказательство противоположного импликации в односвязной области.$\Omega\subseteq M$содержащий реперную точку$x_{0}\in M$:

   • За точку$x\in \Omega$выбрать путь/кривую$C$от$x_0$к$x$.

   • Задайте групповой элемент с помощью линии Уилсона$^1$

     $$U(x,x_0)~:=~P e^{\int_{C} \!A},\tag{2}$$ где$P$обозначает порядок пути .

   • Затем используйте неабелеву теорему Стокса, чтобы доказать, что это определение (2) не зависит от кривой$C$, потому что$F=0$.

   • Наконец, используйте групповое сечение (2) для калибровочного преобразования калибровочного потенциала$A$быть нулем.

4. Пример: рассмотрим проколотую плоскость .$M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$с координатами

   $$\begin{align}x~=~&r\cos\theta, \qquad y~=~r\sin\theta, \cr \theta~\sim~&\theta+2\pi,\qquad r~>~0;\end{align}\tag{3}$$ и с абелевой калибровочной группой$G=U(1)$.
   Пусть (мнимая) 1-форма калибровочного потенциала имеет вид $$-iA~=~\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}~=~\mathrm{d}\theta~=~-iU^{-1}\mathrm{d}U,\tag{4}$$ где $$U(x,y)~=~e^{i\theta(x,y)}~\in~G\tag{5}$$ является глобально корректно определенным разделом с групповым значением. Напряженность поля$F$обращается в нуль, поэтому калибровочный потенциал (4) является чисто калибровочным. Однако, если мы масштабируем$A\to \lambda A$в уравнении (4) с нецелой константой$\lambda\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}$, затем$A$больше не будет чистой калибровкой (поскольку соответствующий$U=e^{i\lambda\theta}$становится многозначным ), но$F$все равно будет ноль.

--

$^1$Если$G$не просто связано, то работает в универсальной покрывающей группе $\tilde{G}$. Мы всегда можем позже спроецировать до$G$.