Меркатор против цилиндрических проекций

Я точно не знаю, что значит «расширяться, как мочевой пузырь», но это правда, что проекция Меркатора отличается от центральной цилиндрической проекции. На следующем рисунке показано поперечное сечение проекции Меркатора, где круг представляет сферическую землю, а две вертикальные линии представляют цилиндр. Синие линии обозначают проекцию точек на окружности на точки на цилиндре:

Я раньше не видел такого определения проекции Меркатора, но, возможно, оно имеет смысл. Давайте предположим, что физически под картиной мочевого пузыря подразумевается то, что, как только мочевой пузырь соприкасается с внешним цилиндром, часть поверхности, которая касается цилиндра, остается неподвижной; он не скользит. Таким образом, форма, которую он имел в момент до контакта, сохраняется.

Тогда мы можем видеть, что оставшаяся часть мочевого пузыря, свободная часть, должна принять форму сферического пузыря, потому что давление внутри мочевого пузыря уравновешивается только тогда, когда кожа равномерно натянута, а это может сделать только сферическая форма. Поэтому свободная часть пузыря, будучи равномерно растянутой, должна точно сохранять формы всех физических признаков, нарисованных на его поверхности.

Поскольку внешний цилиндр фиксирует локальную форму мочевого пузыря в момент контакта, полученная проекция сохраняет форму именно так, как это было задумано Меркатором. Между прочим, сдерживающий цилиндр не обязательно должен касаться исходной сферы. Конечно, это очевидно, потому что мочевой пузырь растет как сфера до первого контакта.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я действительно понятия не имел, во что я ввязался с этой проблемой. Я думаю, что это очень хорошая задача по математике и физике, и если я не ошибаюсь, она намного сложнее, чем я думал. Итак, я собираюсь сделать одно или два упрощения, несколько наблюдений и пару догадок.

Во-первых, физику становится немного легче визуализировать, если мы начнем с рассмотрения области недалеко от Северного полюса. Таким образом, мы начинаем с плоского листа. Затем мы можем заменить длинную трубу простым кольцом. Мочевой пузырь надувают до тех пор, пока он не соприкоснется с кольцом. В этот момент часть лестницы внутри кольца, первоначально почти плоский лист, можно считать закрепленной на его окружности, и она будет расти наружу в виде пузыря. В какой-то момент стенки пузыря становятся вертикальными. Это момент, когда он прикрепится к стенке трубы (если бы труба была). Теперь задача состоит в том, чтобы просто показать, что вблизи кольца, в тот момент, когда мочевой пузырь становится вертикальным, локальная деформация мочевого пузыря не имеет искажений.

Это упрощение меняет проблему меньше, чем можно было бы подумать. Если это верно для произвольного кольца вблизи северного полюса, то оно верно для всех колец, в частности для серии колец, наложенных одно на другое. Так и для трубы - по крайней мере, в северных широтах. Оставим пока вопрос о том, приводит ли физика к тем же результатам в средних и низких широтах. (Хотя это почти тривиально гарантируется вблизи экватора.)

Вернуться на ринг. Мы считаем, что мочевой пузырь надут до тех пор, пока он не коснется кольца, и в этот момент он достаточно велик по сравнению с кольцом, так что ограниченная часть представляет собой по существу плоский лист. Должно быть достаточно ясно, что до этого момента растяжение не имеет искажений. Мы хотим показать, что по мере деформации пузыря в кольцо он остается без искажений вблизи кольца до момента, когда стенки пузыря станут вертикальными. Поскольку лист закреплен сбоку на кольце, это приводит к кажущемуся странным результату, что продольное растяжение вблизи кольца равно нулю - что как только он входит в контакт, он просто наклоняется вверх без дальнейшего растяжения!

Но где-то лист должен растягиваться: может быть, растяжение максимально вблизи середины, а на периферии стремится к нулю?

Это противоречит тому, что я утверждал в своем первоначальном ответе о том, как только сферическая форма может находиться в равновесии с постоянным давлением. Кажется, я был неправ. Теперь я собираюсь предположить, что в этом случае физика может быть удовлетворена, если кривизна локально сферична везде, но может изменяться непрерывно. В таком случае, чтобы давление было везде уравновешенным, произведение кривизны на растяжение должно быть постоянным. Я нарисовал ей серию вложенных друг в друга сфер, которые, как мне кажется, приблизительно соответствуют истинной форме мочевого пузыря, расширяющегося в кольцо:

Вы можете видеть, что кривизна уменьшается вблизи купола, а это означает, что напряжение (и растяжение) мочевого пузыря максимально вблизи Северного полюса. Рядом с точкой ограничения. Это имеет некоторый смысл, если мы представим, что мочевой пузырь пытается вместить максимальный объем при наименьшем количестве энергии растяжения. В двух измерениях решение, конечно же, заключается в постоянном растяжении повсюду, что приводит к круглому профилю. В трех измерениях, поскольку площадь увеличивается кнаружи, для мочевого пузыря более экономично растягивать немного больше посередине. (Полученная кривая выглядит как циклоида, но я так не считаю.)

В любом случае интересно то, что если эта модель верна, растяжение везде без искажений. Таким образом, в момент, когда пузырь ложится на внутреннюю часть трубы, формы сохраняются в своей первоначальной форме.

Остается одно больное место: я не могу убедить себя, что растяжение должно быть везде без искажений... что мочевой пузырь везде локально сферичен. Для маленького квадрата, проведенного в любом месте на мочевом пузыре, есть две кривизны и два напряжения: продольное и широтное. Мне непонятно, почему эти два должны быть равны. Сопротивление давлению определяется произведением растяжения и кривизны, и я могу себе представить, что давление могло бы быть уравновешено средним значением продольного и широтного сопротивления, хотя эти величины не обязательно равны.