Инвариантность действия ⇒⇒\Rightarrow ковариантность уравнений поля?

В этом ответе мы формально показываем, что (квази)симметрия действия влечет за собой соответствующую симметрию его ЭОМ.$^{\dagger}$. Ответ не обсуждает ковариацию формы EOM. Для дальнейших отношений между симметриями действия, EOM и решениями EOM см., например, этот пост Phys.SE.

Напомним сначала определение квазисимметрии действия

$$S_V[\phi]~:=~\int_V \! \mathbb{L}, \qquad \mathbb{L}~:=~{\cal L}~d^nx.\tag{1}$$

Это означает, что действие (1) меняется граничным интегралом

$$S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] +\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots) ~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) \tag{2}$$

под трансформацию. В дальнейшем будем предполагать, что область пространственно-временного интегрирования$V$является произвольным.

Теорема. Если локальный функционал действия$S_V[\phi]$имеет преобразование квазисимметрии

$$\phi^{\alpha}(x)~~\longrightarrow~~ \phi^{\prime \alpha}(x^{\prime}), \qquad x^{\mu}~~\longrightarrow~~x^{\prime \mu}, \tag{3}$$ затем МНВ $$e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)~:=~\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}~\approx~0\tag{4}$$ должен иметь симметрию (относительно того же преобразования) $$e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime})~\approx~e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x).\tag{5}$$

I) Формальное конечное доказательство: это работает как для дискретной, так и для непрерывной квазисимметрии.

$$\begin{align} e_{\alpha}&(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)\cr ~:=~&\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})} \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime}) \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}.\end{align} \tag{6}$$

II) Формальное инфинитезимальное доказательство: это работает только для непрерывной квазисимметрии. Из инфинитезимального преобразования (3)

$$\begin{align} \delta \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x), \cr \delta x^{\mu}~:=~&x^{\prime \mu}-x^{\mu},\end{align} \tag{7}$$

мы определяем так называемое вертикальное преобразование

$$\begin{align} \delta_0 \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x)-\phi^{\alpha}(x)\cr ~=~&\delta \phi^{\alpha}(x)-\delta x^{\mu} ~d_{\mu}\phi^{\alpha}(x),\cr d_{\mu}~:=~&\frac{d}{dx^{\mu}},\end{align} \tag{8}$$

которое преобразует поля$\phi^{\alpha}(x)$без преобразования точек пространства-времени$x^{\mu}$. Из квазисимметрии следует, что лагранжиан$n$-форма$\mathbb{L}$преобразуется с полной пространственно-временной производной

$$\begin{align} \delta \mathbb{L}~=~&d_{\mu} f^{\mu}~d^nx, \cr \delta_0 \mathbb{L}~=~&d_{\mu}(f^{\mu}-{\cal L}~\delta x^{\mu})~d^nx.\end{align} \tag{9}$$

EOM (4) обычно второго порядка, так что допустим это для простоты. (В этом предположении нет необходимости.) Тогда инфинитезимальное преобразование EOM (4) имеет вид

$$\begin{align} \delta e_{\alpha}(x)~=~&\delta_0 e_{\alpha}(x) +\delta x^{\mu} ~\underbrace{d_{\mu} e_{\alpha}(x)}_{\approx 0}\cr ~\approx~&\delta_0 e_{\alpha}(x) \cr ~=~&\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial\phi^{\beta}(x)}\delta_0\phi^{\beta}(x) +\sum_{\mu}\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}\delta_0\phi^{\beta}(x)\cr &+\sum_{\mu\leq \nu }\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}d_{\nu}\delta_0\phi^{\beta}(x) \cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta e_{\alpha}(x)}{\delta \phi^{\beta}(y)}\cr ~=~&\int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)\delta \phi^{\alpha}(x)} \cr ~=~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)\delta\phi^{\beta}(y)} \cr ~=~& \frac{\delta}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr &-\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr ~\sim~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)} -\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} e_{\beta}(y) \cr ~\approx~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{10}$$

На самом последнем шаге ур. (10) мы использовали, что бесконечно малая вариация

$$\begin{align} \delta_0 S_V[\phi]+\int_V\! d^nx~d_{\mu} \left({\cal L}~\delta x^{\mu} \right) ~=~&\delta S_V[\phi]\cr ~=~&\int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots)\end{align} \tag{11}$$

действия является граничным интегралом по предположению (2), так что его функциональная производная (10) должна обращаться в нуль (если она существует).

--

$^{\dagger}$ Терминология и обозначения: Уравнения движения (УДМ) означают уравнения Эйлера-Лагранжа (1). Слова «внутри оболочки» и «вне оболочки» относятся к тому, удовлетворен ли EOM или нет. $\approx$символ означает равенство по модулю EOM.

$^{\ddagger}$Предупреждение: Этот шаг не всегда оправдан. $\sim$символ указывает на то, что мы формально проинтегрировали по частям и проигнорировали граничные вклады. Также мы предположили, что соответствующая функциональная производная определена и существует. Эта оговорка является основным недостатком приведенного здесь формального доказательства. Дело довольно серьезное, например, в случае глобального (=$x$-независимая) вариация, которая обычно не обращается в нуль на границе. Таким образом, граничные вклады в принципе могут играть роль.

Однако вместо того, чтобы использовать функциональные производные и интегрирования, можно доказать уравнение. (10)$x$-локально

$$\begin{align} \delta_0 e_{\alpha}(x)~=~&\ldots \cr~=~&\underbrace{E_{\alpha(0)} d_{\mu}}_{=0}\left(f^{\mu}(x)-{\cal L}(x)~\delta x^{\mu}\right)\cr &- \sum_{k\geq 0} d^k\left( \underbrace{e_{\beta}(x)}_{\approx 0} \cdot P_{\alpha(k)}\delta_0\phi^{\beta}(x) \right)\cr ~\approx~& 0 \end{align}\tag{12}$$

используя только более высокие частные производные поля

$$P_{\alpha(k)} ~:=~\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha(k)}}, \qquad k~\in~\mathbb{N}_0^n,\tag{13}$$

и выше операторы Эйлера

$$E_{\alpha(k)} ~:=~\sum_{m\geq k} \begin{pmatrix} m \cr k\end{pmatrix} (-d)^m P_{\alpha(m)}, \tag{14}$$

все они относятся к одной и той же точке пространства-времени$x$. Этот$x$-локальный подход позволяет обойти проблему неучтенных граничных вкладов.