Экспонента или логарифм размерной величины?

Question

Экспонента или логарифм размерной величины?

единицы
Физика
размерный анализ

Джика

У меня есть единица измерения, скажем, секунды, $s$ . Кроме того, допустим, у меня есть размерная величина $r$ то есть измерять в секундах, $s$ . Что является единицей измерения $e^r$ ? ( $1/r$ в $Hz$ .)

Мой вопрос общий, как найти единицу измерения функции преобразования $y=f(x)$ где $x$ принимает некоторую известную единицу измерения. Я даю выше две функции $f(\cdot)=e^\cdot$ и $f(.)=1/\cdot$ .

Кайл Канос

Пока не

r (s)

$r(s)$ безразмерный,

e^{r}

$e^r$ не имеет особого смысла (см., например, его определение в терминах степенного ряда )

Мусорный контейнерDoofus

@Jika: Как упомянул Кайл, в физике невозможно иметь что-то вроде формы

e^{r}

$e^r$ , пока не

r

$r$ является безразмерным. Если получить что-то в виде

e^{r}

$e^r$ где

r

$r$ не является безразмерным, значит, вы где-то ошиблись. Попробуйте проверить свою математику на наличие ошибок.

Друв Чадха

ln(42m)= ln(42)+ln(m), поэтому при делении ln(10км/1км) = ln(10)+ln(км)-(ln(1)+ln(км)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Он по-прежнему будет безразмерным. Следовательно, аргумент Кевина недействителен.

Ответы (3)

Экспонента или логарифм размерной величины?

Пока не $r(s)$ безразмерный, $e^r$ не имеет особого смысла (см., например, его определение в терминах степенного ряда )
@Jika: Как упомянул Кайл, в физике невозможно иметь что-то вроде формы $e^r$ , пока не $r$ является безразмерным. Если получить что-то в виде $e^r$ где $r$ не является безразмерным, значит, вы где-то ошиблись. Попробуйте проверить свою математику на наличие ошибок.
ln(42m)= ln(42)+ln(m), поэтому при делении ln(10км/1км) = ln(10)+ln(км)-(ln(1)+ln(км)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Он по-прежнему будет безразмерным. Следовательно, аргумент Кевина недействителен.

Нефенте · Answer 1

Единственное разумное правило при работе с единицами измерения состоит в том, что вы можете складывать только термины, которые несут одну и ту же единицу измерения. Сказать $[x]=[y]$ , затем $x+y$ является допустимым утверждением по единице. Вы также можете перемножать произвольные единицы вместе. Другой вопрос, насколько это физически разумно. Очевидно, вы не можете складывать, например, метры и секунды, но умножая, чтобы сформировать $m/s$ как единица скорости является действительной операцией.

Отсюда следует, что аргумент экспоненты не должен иметь единицы, потому что экспонента определяется как степенной ряд.

е^{Икс} "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{{Икс}^{н}}{н!}

$e^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ Если

x

$x$ должны были нести единицу, скажем метры, можно было бы добавить (схематично)

m + m^{2} + m^{3} + \dots

$m+m^2+m^3+\cdots$ , что нелогично.

Если вы встретите экспоненту, синус/косинус, логарифм... в физике, вы почти всегда обнаружите, что ее аргумент, который должен быть безразмерным, часто является произведением двух сопряженных переменных. Примерами являются время и частота или расстояние и импульс.

Люди иногда пишут что-то вроде $\log E$ и так далее, с $E$ быть количеством с единицами, но это понимается как сокращение для $\log\frac{E}{E_0}$ для некоторого эталонного значения $E_0$ значение которого не имеет значения. (А как по мне, так вообще лучше выписать $\log\frac{E}{E_0}$ явно.)
Я бы сказал всегда, не почти всегда, хотя это может быть не так очевидно. Ты можешь иметь $(e^r)^k$ , где $k$ имеет единицы обратных метров. С журналами у вас может быть $(\ln{r} - \ln{k})$ . Автор может отказаться от второго термина, если он не имеет значения, но это только усугубит путаницу.
Другое распространенное обозначение (особенно в метках осей) выглядит примерно так: $\log(d/\mathrm{m})$ (в данном случае $E_0$ Дэвид З упоминает, что это всего лишь «один метр»), или $\log(v/c)$ (" $E_0$ "является размерной константой с теми же размерностями, что и интересующая величина).
Где я могу узнать больше о сопряженных переменных?

оставленный вокруг · Answer 2

См. «Что такое логарифм километра» для обсуждения этого. Как также сказал Дэвид З. в комментарии здесь, использование логарифма размерной величины на самом деле вполне разумно.

Для экспоненты это не так. Определение степенного ряда «доказывает», что, однако, тот же аргумент работает и для логарифма. Лично мне не нравится рассматривать ряд Тейлора как нечто большее, чем полезный инструмент расчета. «Более фундаментальное» (конечно, такой метрики) определение - это решение дифференциального уравнения $\tfrac{\mathrm{d}\exp}{\mathrm{d}x} = \exp(x)$ . Который говорит вам сразу

\frac{[опыт]}{[Икс]} "=" [опыт] \Rightarrow [Икс] "=" 1.

$\tfrac{[\exp]}{[x]} = [\exp] \qquad \Rightarrow\quad [x] = 1.$ Обратите внимание, что это не получается при использовании аналогичного определения логарифма:

\frac{г п}{г Икс} "=" \frac{1}{Икс} \Rightarrow \frac{[п]}{[Икс]} "=" \frac{1}{[Икс]} \Rightarrow [Икс] "=" ?

$\frac{\mathrm{d} \ln}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \qquad \Rightarrow \quad \tfrac{[\ln]}{[x]} = \tfrac{1}{[x]} \qquad \Rightarrow \quad [x] =\:?$ Конечно, оба уравнения определяют функции только до калибровки начального значения. Для

\ln (1) = 0

$\ln(1) = 0$ чтобы иметь смысл, вам, безусловно, нужно, чтобы аргумент был безразмерным. Но пока вы учитываете только различия между логарифмами, калибровка все равно отменяется!

Кевин Виль · Answer 3

Учитывать:

Конц = 100 мг/мл

Log10(Концентрация) = 2

Что, если я выражу Conc в мг/дл? Тогда Conc2 = 1 мг/дл (обратите внимание, что это одно и то же, просто разные единицы с другим количеством):

Лог10(Конц2) = 0.

Log10( Conc ) и Log10( Conc2 ), и у нас есть проблема, если мы не сохраним единицы измерения. Почему log10 мг/мл не может быть менее разумным, чем мг/мл?

Во-вторых, рассмотрим этот аргумент из интернета: чтобы взять логарифм, количество должно быть безразмерным, поэтому делить на единицу (по какому обоснованию?):

Лог10( 10 км / 1 км )

Проблема в следующем:

Log10(10 км / 1 км) = Log10(10 км) - Log10(1 км)

-Кевин

"рассмотреть этот аргумент из интернета"? Источник был бы полезен.

Экспонента или логарифм размерной величины?

Джика

Кайл Канос

Мусорный контейнерDoofus

Друв Чадха

Ответы (3)

Нефенте

Дэвид З.

Гарип

Кайл Оман

Нил Джи

оставленный вокруг

Кевин Виль

tusky_mcmammoth

Как я могу понять нелогичные единицы, такие как s2s2\text{s}^2?

Почему скорость света используется для определения четвертой оси пространства-времени?

Каковы единицы или размеры дельта-функции Дирака?

Почему действие безразмерно в натуральных единицах?

Разница между теоретическими уравнениями и эмпирическими уравнениями

Должны ли за нулем следовать единицы? [дубликат]

Почему мы устанавливаем x0=ctx0=ctx^0 = ct вместо x0=tx0=tx^0 = t?

Единица логнормальной функции плотности вероятности

Проверить размерность интеграла функции

Любопытная связь между зависимостью планковских единиц в ℏ от размеров единиц.