Что подразумевается под «гравитационной потенциальной энергией системы»?

В отличие от кинетической энергии, которой может обладать отдельное тело, потенциальная энергия всегда является свойством системы, состоящей как минимум из двух тел.

Потенциальная энергия существует в системе, когда два (или более) объекта, составляющих систему, взаимодействуют посредством консервативной силы.

Ваше первое определение на самом деле неверно. Потенциальная энергия принадлежит системе объект -гравитационное поле . Существует множество заблуждений, связанных с одним объектом, обладающим потенциальной энергией.

Например, когда вы поднимаете мяч с поверхности Земли на определенную высоту, неверно утверждается, что мяч обладает гравитационной потенциальной энергией (определяемой формулой$mgy$). Правильный способ сказать, что система шара и Земли или система шара и гравитационного поля Земли имеет гравитационную потенциальную энергию, определяемую выражением$mgy$. В этом случае система состоит из шара и Земли, которые взаимодействуют посредством консервативной силы; сила тяжести.

Ваше выражение для двух объектов является синонимом мяча и Земли. Система, которую они составляют, обладает свойством потенциальной энергии, поскольку они взаимодействуют посредством консервативной силы.

Возможно, вы также встречали выражение для гравитационной потенциальной энергии системы из трех и более частиц:

$$U_g = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j}\frac{-Gm_im_j}{r_{ij}}$$

В таком случае имеет ли смысл говорить, что один объект из всех обладает этим значением потенциальной энергии (как предполагает ваше определение)?

---

В ответ на ваш вопрос (оставленный в комментариях):

(1) Вообще в упомянутой Вами статье очень много ошибок. Опять же, потенциальная энергия является свойством системы масса-поле, поэтому ни гравитационное поле, ни масса не обладают потенциальной энергией (равной$V.m$, читайте мой второй пункт). На самом деле это свойство комбинированной системы и, следовательно, это утверждение:

Также почему гравитационному полю приписывается потенциальная энергия, когда работа над телом совершается полем?

физически бессмысленно. Обратите внимание, что некоторые источники могут утверждать, что гравитационная потенциальная энергия хранится в поле . Хотя это не совсем точно, это несколько оправдано, потому что гравитационное поле будет меняться с расстоянием (точно так же, как и потенциальная энергия).

(2) Вы не должны путать гравитационную потенциальную энергию и гравитационный потенциал. Гравитационный потенциал определяется как

$$V = \frac{U_g}{m}$$ где m — масса исходной массы, создающей поле. Она лишь численно равна потенциальной энергии, когда вы подставляете$m = 1 kg$

(3) Неверно утверждать, что отдельное тело обладает потенциальной энергией. Однако это обозначение слишком укоренилось в нашем языке, поэтому вы можете увидеть несколько ссылок на него. Однако отдельный изолированный объект не может иметь функцию потенциальной энергии (как описано в моем ответе)

Что понимается под гравитационной потенциальной энергией системы? В ньютоновской гравитации есть два определения:

(а) Система дискретных частиц: выражение для полной потенциальной энергии системы$N$частиц определяется

$$V_{tot}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{Gm_im_j}{|r_i-r_j|}$$ где индексы$i,j\in (1,2,...,N)$и$i\neq j$

(b) Для непрерывного распределения дискретная сумма заменяется интегралом:

$$V_{tot}=\frac{1}{2}\int \rho(r)\Phi(r) d^3r$$ Использование закона Гаусса для гравитации $$\nabla.\textbf{g}=4\pi G\rho$$ (где гравитационное поле$\textbf{g}=-\nabla\Phi(r)$) и интегрирования по частям можно написать $$V_{tot}=-\frac{1}{8\pi G}\int \textbf{g}(r).\textbf{g}(r)d^3r$$ Заметим, что в этом определении мы также учли собственную гравитационную энергию системы, которая не учитывалась для дискретного случая.

Для этого вы считаете работу, которую вы должны сделать, чтобы медленно собрать массы из бесконечности (очевидно, это абстракция). Сила, притягивающая их, равна:

$$\vec F(r) = -\hat r \frac{GmM}{r^2}$$

так как вы сводите их медленно, нужно тянуть за один противоположный$\hat F$, так что выполненная работа равна:

$$W(r) = \int_{r'=\infty}^{r'=r}F(r')dr'$$ $$W(r) = -\int_{r'=\infty}^{r'=r}\frac{GmM}{r'^2}dr'$$ $$W(r) = \frac{GmM}{r'}\Big|_{r'=\infty}^{r'=r}$$ $$W(r) = GmM[\frac 1{\infty} - \frac 1 r]$$ $$W(r) =-\frac{GmM}{r}\equiv V(r)$$