Вырождение двумерного гармонического осциллятора

Question

Вырождение двумерного гармонического осциллятора

Анонимный

Если мы рассмотрим частицу в двумерном гармоническом потенциале осциллятора с гамильтонианом

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м} + \frac{м ж^{2} р^{2}}{2}

$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + \frac{m w^2 \textbf{r}^2}{2}$ можно показать, что энергетические уровни задаются формулой

Е_{н_{Икс}, н_{у}} "=" ℏ ю (н_{Икс} + н_{у} + 1) "=" ℏ ю (н + 1)

$E_{n_x,n_y} = \hbar \omega (n_x + n_y + 1) = \hbar \omega (n + 1)$ где

n = n_{x} + n_{y}

$n = n_x + n_y$ . Верно ли тогда, что н

^{th}

$^{\text{th}}$ энергетический уровень имеет вырождение

n - 1

$n-1$ для

n \geq 2

$n \geq 2$ , и 1 для

0 \leq n \leq 1

$0 \leq n \leq 1$ ?

Насколько распространен этот сценарий, когда можно вычислить вырождение «общего» или «n $^\text{th}$ уровень энергии? Насколько это распространено в более сложных квантовых системах?

Космас Захос

Нет, это не правда. В 2 d вырождение равно n +1, как указано в ответе @ZeroTheHero. Проверьте случай n = 4, чтобы успокоиться. почитайте на карте Иордании .

пользователь154080

Я забыл учесть случаи, когда

n_{x} = 0

$n_x = 0$ или

n_{y} = 0

$n_y=0$ . Спасибо!

Ответы (3)

Вырождение двумерного гармонического осциллятора

Нет, это не правда. В 2 d вырождение равно n +1, как указано в ответе @ZeroTheHero. Проверьте случай n = 4, чтобы успокоиться. почитайте на карте Иордании .
Я забыл учесть случаи, когда $n_x = 0$ или $n_y=0$ . Спасибо!

ZeroTheHero · Answer 1

В случае n-мерного гармонического осциллятора, возможно, самый элегантный метод состоит в том, чтобы признать, что набор состояний с общим числом $m$ возбуждения $(m,0,\ldots,0)$ из $su(n)$ . Таким образом, вырождение есть размерность этого иррепрезентации.

Для двумерного осциллятора и $su(2)$ это просто $m+1$ ,
Для трехмерного осциллятора и $su(3)$ Это $\frac{1}{2}(m+1)(m+2)$
Для 4D осциллятора и $su(4)$ Это $\frac{1}{3!}(m+1)(m+2)(m+3)$ и т. д.

Возможно, в интересах будущих пользователей вы могли бы использовать N вместо su( N ) и предоставить общую формулу для вырождения $\frac{(m+N-1)}{(N-1)! m!}$ ?

Сеньор О · Answer 2

Да, это правильно, и вообще очень часто умеют считать. Для получения дополнительной информации изучите микроканоническую плотность состояний - она очень тесно связана с идеей энтропии (т.е. энтропия связана с количеством вырождений в системе).

пользователь 2820579 · Answer 3

Если вы проигнорируете теоретико-групповые следствия, собственные состояния числового оператора просто

| н_{1}, н_{2}, \dots, н_{л} ⟩,

$|n_1,n_2,\dots,n_l\rangle,$

с ограничением

\sum_{Дж "=" 1}^{л} н_{Дж} "=" Н .

$\sum_{j=1}^l n_j = N.$

Это связано с тем, что энергия $l$ несвязанные генераторы

Е_{л} "=" Н

$E_l = N$

плюс константа. Для фиксированного $N$ , пространство вырождения — это просто количество таких $N$ возбуждений (фактически бозонов!) можно распределить по $l$ -уровни. Это типичная комбинаторная проблема с заменой, поскольку любое число бозонов может поместиться в любом состоянии из $l$ возможный. Следовательно, вырождение равно

(\binom{л + Н - 1}{Н}) .

$\binom{l+N-1}{N}.$

Вырождение двумерного гармонического осциллятора

Анонимный

Космас Захос

пользователь154080

Ответы (3)

ZeroTheHero

Космас Захос

Сеньор О

пользователь 2820579

Почему бы не отбросить ℏω/2ℏω/2\hbar\omega/2 из энергии квантового гармонического осциллятора?

Имеют ли смысл состояния с бесконечной средней энергией?

Ненулевая энергия основного состояния квантового гармонического осциллятора [дубликат]

Что такое гамильтониан в «энергетической основе» простого гармонического осциллятора?

Почему энергетические уровни простого гармонического осциллятора расположены на одинаковом расстоянии друг от друга?

Почему гармонические осцилляторы квантуются? [закрыто]

Связанные состояния, состояния рассеяния и бесконечные потенциалы

Вырождение состояний в смешанной бесконечной квадратной яме, гармонический осциллятор

Флуктуации нулевой точки гармонического осциллятора

Ожидаемое значение позиции гармонического осциллятора