Скобки Пуассона в искривленном пространстве-времени

Прошло некоторое время с тех пор, как вы спросили об этом, но я попробую.

Самая большая проблема в искривленном пространстве-времени заключается в точном определении того, что вы подразумеваете под гамильтонианом и что вы подразумеваете под скобкой Пуассона.

Допустим, вы имеете дело с реальным скалярным полем.$\phi$что минимизирует некоторые действия

$$W = \int_{\mathcal{M}}\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi,x) d^4 x$$

что представляет собой интегрирование скалярного лагранжиана плотности$\mathcal{L}$над коллектором$\mathcal{M}$. Отсюда у вас есть несколько вариантов: вы можете попробовать расслоить многообразие на поверхности$\Sigma(t)$и получить конкретный импульс, гамильтониан и скобку Пуассона, определяемые величинами на этих поверхностях... или вы можете сказать, что пока не хотите фиксировать слоение. Для любой поверхности Коши$\Sigma$мы можем определить импульс$\pi_\Sigma:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}$как скалярная плотность

$$\pi_\Sigma = n_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

где$n_\mu$это нормаль, указывающая на будущее$\Sigma$. Имеем уравнения Эйлера-Лагранжа

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_\mu \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

(Обратите внимание$\partial_\mu$эквивалентно использованию$\nabla_\mu$здесь, потому что ковариантная расходимость плотности совпадает с координатной расходимостью).

Пространство всех полей, минимизирующих$W$, назови это$\mathscr{V}_W$, является бесконечномерным пространством, но это не обязательно банахово пространство, особенно если уравнения движения не являются линейными в$\phi$(то есть, если лагранжиан не квадратичен). Мы предполагаем, что для этого простого примера оно квадратично, но в общем случае вам придется просмотреть пространство$\mathscr{V}_W$как бесконечномерное многообразие и определить такие вещи, как симплектическая форма на касательных банаховых пространствах этого многообразия.

Если многообразие удовлетворяет некоторым требованиям гиперболичности, то, зная значения$\phi$и его импульс$\pi_\Sigma$на поверхности Коши$\Sigma$позволяет интегрировать уравнения движения и определить$\phi$на всем многообразии. Таким образом, для заданной поверхности$\Sigma$,$\phi$и$\pi_\Sigma$действуют как координаты для нашего бесконечного многообразия$\mathscr{V}_W$.

Теперь, чтобы иметь скобку Пуассона, вам нужна симплектическая форма$\omega:\mathscr{V}_W\times\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$. Это должно быть невырожденным и антисимметричным. Оказывается, для любой поверхности$\Sigma$,

$$\omega[\phi_1,\phi_2] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}(\phi_1 \pi_{\Sigma,2} - \phi_2 \pi_{\Sigma,1})d^3 x$$

где$G_\Sigma$является определителем 3-метрики на$\Sigma$и$g$является определителем 4-метрики на$\mathcal{M}$, такая форма. Не зависит от поверхности$\Sigma$интегрирования , что можно увидеть, используя теорему Стокса и применяя уравнения движения.

Таким образом, значение симплектической формы$\omega(\phi_1,\phi_2)$для двух полей не зависит от того, как мы будем расслаиваться.

Теперь давайте вернемся к нашему более раннему заявлению о$\phi$и$\pi_\Sigma$будучи координатами. Это означает, что если у меня есть какой-то реальный функционал$\mathcal{F}[\phi]$, я могу определить производную в терминах этих двух наборов координат. В частности, на заданном поле$\phi\in\mathscr{V}_W$, существует вариационная производная$\delta \mathcal{F}_\phi:\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$которая является линейной картой и может быть записана как

$$\delta\mathcal{F}_\phi[\psi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\psi(x) + \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\pi_{\Sigma,\psi}(x)\right) d^3 x$$

Точно так же, как симплектические формы комбинируются с производными на конечных симплектических многообразиях, чтобы получить скобку Пуассона (я не буду повторять здесь весь процесс, уже поздно, и мне нужно немного поспать :-)), теперь мы можем определить пуассонову скобку скобка из двух функционалов$\mathcal{F},\mathcal{G}$как

$$\{\mathcal{F},\mathcal{G}\} = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\pi_\Sigma(x)} - \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\phi(x)}\right) d^3 x$$

Это похоже на$\omega$, не зависит от поверхности интегрирования (что непосредственно следует из$\omega$независимость России).

Хорошо. Итак, до сих пор мы многое сделали, не зафиксировав расслоение или координаты на многообразии. Это мило. Однако, чтобы получить строгий аналог формулы Гамильтона, нам нужно выбрать некоторое слоение. Вместо этого мы можем рассмотреть более общий пример. Позволять$\xi^\mu$— некоторое векторное поле, представляющее деформацию многообразия; то есть мы сдвигаем координаты и преобразовываем поля как

$$x^\mu \mapsto x^\mu + \epsilon\xi^\mu$$ $$\phi \mapsto \phi - \epsilon\xi^\mu\partial_\mu\phi$$

где$\epsilon$— какое-то очень малое число (преобразование импульса более сложное, так как$\xi^\mu$может втягивать поверхности в другие поверхности, а это значит, что мы переходим между разными функциями импульса. Опять же, я пока буду ленив и оставлю это). Далее мы ограничимся полями$\xi^\mu$которые оставляют действие инвариантным. Теперь мы можем обратиться к теореме Нётер!

Определить функционал

$$H_\xi[\phi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\pi_\Sigma \delta_\xi \phi - n_\mu \xi^\mu \mathcal{L}\right)d^3 x$$

где$\delta_\xi \phi = - \xi^\mu \partial_\mu \phi$. Этот функционал сохраняется (независимо от$\Sigma$) по теореме Нётер. Тогда дело обстоит так (опять же, сонно, без доказательств), что

$$\{\phi,H_\xi\} = \xi^\mu \partial_\mu \phi$$

который является аналогом вашего вопроса в искривленном пространстве-времени.