Что относится к теории Янга-Миллса ниже d=4d=4d = 4?

Есть два способа записать лагранжиан для Янга-Миллса, различающиеся масштабированием поля Янга-Миллса. Причудливые теоретики склонны писать

С "=" ∫ д д Икс 1 4 е 2 тр ( Ф 2 )
в то время как люди, которые делают практические расчеты, склонны писать
С "=" ∫ д д Икс 1 4 тр ( Ф 2 ) .
Это совершенно тривиальная разница; это просто поглощает фактор е в поле.

Однако менее чем в четырех измерениях это полностью меняет инфракрасное поведение теории, потому что массовое измерение е положительный. В «практической» установке кинетический член является маргинальным, поэтому он просто остается неизменным при потоке ренормализационной группы, как и в любой другой теории. Для д < 4 муфта е актуален, усиливаясь в инфракрасном диапазоне так же, как и в д "=" 4 квантовая хромодинамика.

Но в установке «теории» кинетический термин не имеет значения для д < 4 , так как его коэффициент имеет отрицательную массовую размерность, а значит, в инфракрасном диапазоне теория не имеет распространяющихся степеней свободы! Мне сказали, что единственный термин, который вы получаете д "=" 3 есть член Черна-Саймонса, и мы приходим к топологической теории поля, которая совершенно не похожа на квантовую хромодинамику.

Как простое изменение масштаба поля может привести к таким разным выводам? Является ли один из этих вариантов просто недействительным? Какая из этих установок описывает то, что на самом деле произошло бы в д < 4 ?

Ответы (2)

Полезно сделать более сильное различие в обозначениях. Я собираюсь работать с абелевой теорией Максвелла-Черна-Саймонса, поскольку нелинейности только затемняют происходящее. Запишем действие «теория» следующим образом:

С ( А ) "=" 1 г 2 ∫ д А ∧ * д А + κ ∫ А ∧ д А .

Здесь массовая размерность [ А ] "=" 1 и [ г ] "=" 1 2 . Если мы сделаем замену А "=" г Б , получаем «практический» вариант:

С ′ ( Б ) "=" С ( А ) "=" ∫ д Б ∧ * д Б + г 2 κ ∫ Б ∧ д Б

где [ Б ] "=" 1 2 . (Мы также меняем калибровочные преобразования: А ↦ А + д α становится Б ↦ Б + 1 г д α . И это преобразование меняет форму наблюдаемых, отправляя петлю Вильсона е Икс п ( ∮ А ) к е Икс п ( г ∮ Б ) .)

Это, как вы заметили, просто замена переменной в интеграле по путям. Ничего не произошло, физика не изменилась.

Поток перенормировки определяется (даже для первой версии действия) путем интегрирования срезов и масштабирования для фиксации нормализации кинетического члена. Взаимодействий нет, поэтому перенормировка сводится к масштабированию. Константа связи г мала в УФ и велика в ИК. Это означает, что член Черна-Саймонса относительно не важен на коротких расстояниях, но доминирует над членом Максвелла на больших расстояниях. Поэтому, если вы изучаете теорию в ИК, хорошей идеей будет вернуться к «теоретическим» переменным, где член Максвелла выпадает, а наблюдаемые петли Вильсона не содержат константы связи. г который устремлен в бесконечность.

Итак, противоречия нет. Оба действия предсказывают одну и ту же физику в ИК.

Если я не ошибаюсь, векторное (или скалярное) поле в общем случае имеет массовую размерность ( Д − 2 ) 2 . Производные всегда имеют массовое измерение 1. В трех измерениях это означало бы Ф 2 имеет массовую размерность 6 2 "=" 3 и е снова станет маргиналом? Может быть, вам следует объяснить вашу «практическую» настройку.

Это верно в «практической» конвенции. Дело в том, что в «теоретическом» соглашении вектор не имеет обычной размерности, вместо этого он всегда имеет размерность 1.
Обратите внимание, что е имеет одинаковые размеры в любом соглашении. В «практическом» соглашении ковариантная производная равна Д "=" ∂ + я е А так [ е А ] "=" 1 и поэтому [ е ] отличен от нуля для д ≠ 4 .
Хорошая вещь в нормализации «теории» заключается в том, что она поддерживает классический предел. В классической теории можно интегрировать А вдоль линии, чтобы сделать петлю Уилсона. В «практической» нормализации вам нужно будет интегрировать А 2 .
@ user1504 Не могли бы вы рассказать об этом подробнее?
Извините, немного расплывчато. Дело в том, что операторы с размерностью массы [1/2] естественным образом не интегрируются вдоль линий; они не масштабируются правильно. Для линий Wilson вы можете интегрировать г А вокруг цикла (разумный выбор), или вы можете интегрировать А 2 (который имеет правильную массовую размерность по модулю квантовых поправок).
Что относится к теории Янга-Миллса ниже d=4d=4d = 4?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v