Что такое определение температуры, раз и навсегда? [дубликат]

Поскольку Фабиан дал вам термодинамическую перспективу, я попытаюсь изложить вам точку зрения статистической физики. Вы на самом деле были очень близки, когда цитировали теорему о равнораспределении, поскольку общая картина очень похожа на это.

Крайне краткий вариант: температура есть обратный множителю Лагранжа, обеспечивающему сохранение энергии при максимизации статистической энтропии.

Я останусь в классических рамках, чтобы не перегружать вас квантово-механическим механизмом оператора плотности. Допустим, у нас есть система$N$частицы. Задаем себе фазовую плотность$D(x_1, p_1, x_2, p_2, \cdots, x_N, p_N)$: вероятность того, что i-я частица находится между$x_i$а также$x_i + \delta x_i$, а импульс между$p_i$а также$p_i + \delta p_i$пропорциональна$D(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)\delta x_1 \delta p_1 \cdots \delta x_N \delta p_N$. Затем мы строим статистическую энтропию$S(D)$. Следовательно, это функционал, т. е. функция функции$D$:

$$S(D) = -k \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D \log D$$

где я не писал аргументы$D$для удобочитаемости.

Теперь игра заключается в том, чтобы найти$D$что максимизирует$S(D)$при ограничениях, что некоторые макроскопические величины известны. Простейшим примером является канонический ансамбль, в котором макроскопическая энергия$U$известен.

$$U = \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D\ u$$

куда$u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)$— микроскопическая энергия для данной точки фазового пространства. Например, для идеального газа мы можем учитывать только кинетическую энергию,

$$u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N) = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m},$$

куда$m$будет массой каждой молекулы газа.

Эта ограниченная максимизация затем преобразуется в неограниченную путем фактической максимизации.

$$S(D) + \beta U + \lambda_0 \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N D$$

куда$\lambda_0$вводится для обеспечения соблюдения ограничения, всегда присутствующего, что$D$должен быть нормализован до 1, чтобы вероятностное определение, приведенное выше, имело смысл.$\beta$а также$\lambda_0$называются множителями Лагранжа. Результат в том, что

$$D = \frac{1}{Z} e^{-\beta u}$$

где нормализация$Z$называется статистической суммой. Это распределение Больцмана-Гибса. Наконец, мы можем определить температуру$T$в качестве

$$\beta = \frac{1}{kT}$$

С логической и термодинамической точки зрения определение температуры должно даваться нулевым законом термодинамики.

Допустим, мы не знаем, что такое температура. Однако мы знаем, что если мы позволим двум телам взаимодействовать, они могут изменить некоторые термометрические свойства (такие как объем, давление, электрическое сопротивление и т. д.) друг друга. Когда не происходит никакого изменения какого-либо термометрического свойства, мы говорим, что тела достигли теплового равновесия. Нулевой закон состоит в том эмпирическом факте, что если$A$находится в тепловом равновесии с$B$а также$B$находится в тепловом равновесии с$C$, тогда$A$находится в тепловом равновесии с$C$. Это отношение эквивалентности , которое классифицирует набор тел на подмножества, называемые классами эквивалентности . Затем мы помечаем каждый класс номером$T>0$которую мы будем называть температурой. Нулевой закон позволяет нам установить тепловое равновесие только с точки зрения вновь определенной переменной, называемой температурой.

Приведенное выше определение не является абсолютным. Число, которое мы связываем с каждым подмножеством тел, находящихся в тепловом равновесии, произвольно. Чтобы устранить этот произвол (хотя бы частично), мы используем Второй закон термодинамики для определения так называемой абсолютной или термодинамической температуры . Второй закон подразумевает, что любой обратимый тепловой двигатель, работающий между двумя источниками, имеет КПД, равный

$$\eta_R=1-\frac{T_2}{T_1},$$ куда $T_1$а также $T_2$– температуры источников. Учитывая универсальность этого результата, можно, например, произвольно определить температуру холодного источника $T_2$, измерить - механически - КПД двигателя, а затем температуру $T_1$определяется $$T_1=\frac{T_2}{1-\eta_R}.$$ Обратите внимание, что в отношении понятия температуры больше нет произвольности, за исключением выбора температуры холодного источника. Поэтому уместно использовать в качестве эталонной точки, которая хорошо воспроизводима где угодно. Стандартным выбором является тройная точка воды , которая определяется как $273.16\, \mathrm K$.

Вот определение температуры в термодинамике:

• первый закон определяет теплоту $Q$как «недостающая» энергия $$\delta Q = d U - dW \tag{1}$$ куда$U$полная (внутренняя) энергия и$W$это работа.

Обратите внимание, однако, что тепло не определяется для состояния системы, но вам необходимо знать процесс (путь), с помощью которого вы достигли текущего состояния. То есть только изменение$\delta Q$определяется в (1) и не$Q$сам.

• во втором законе (абсолютная) температура$T$определяется как интегрирующий фактор , который$\delta Q$в полный дифференциал$dS$. Говоря более физическим языком, это фактор, определяющий$\delta Q$количество$S$зависит только от состояния системы $$dS = \frac{\delta Q}{T}. \tag{2}$$

Через (2) температура определяется с точностью до мультипликативной константы. Эта константа обычно определяется (через постоянную Больцмана) таким образом, что между температурой замерзания и температурой кипения воды при атмосферном давлении находится 100 единиц.

Редактировать:

Благодаря Вальтеру Моретти я понял, что вы должны добавить условие к (2), что$S$должен быть обширным.

математический:

$$T = \frac{\partial U}{\partial S}_{V,N}$$

Температура – ​​это изменение внутренней энергии по отношению к энтропии при сохранении объема и числа постоянными.

Простым языком: температура — это мера свободной энергии в объекте. Различные объекты имеют разную способность удерживать энергию. Например, при комнатной температуре аммиак может удерживать примерно в 10 раз больше энергии, чем газообразный аргон (на грамм). Еще больше усложняет ситуацию то, что способность материала приспосабливаться к свободной энергии изменяется с изменением температуры. Вместо того, чтобы просто сообщать о свободной энергии в объекте, температура сообщает о свободной энергии, нормализованной к тому, какую емкость имеет этот объект при этой температуре. Все это возвращает нас к тому определению, которое кажется очень замкнутым и мало что объясняет вне контекста:

Эвристика: температура — это качество материи, которое остается неизменным, когда соприкасающиеся объекты достигают теплового равновесия.

Механистическая ревизия: вы слышали о движении молекул в газе и колебании атомов в твердом теле, и это способ понять вещи, но есть также фотоны и (математические) фононы, которые придают вещам температуру. Оказывается, мы знаем температуру солнца не потому, что прислали термометр, а потому, что оно излучает фотоны так же, как и все остальное, а частотное распределение исходящего света согласуется с температурой поверхности солнца около 5800К. Мы даже знаем, что большая часть космоса имеет постоянную температуру около 3К из-за того же свойства.

От редакции: Энергия постоянно переходит от объекта к объекту и от типа к типу. Энергия — это абстрактное понятие, относящееся к каждой физической науке (и описывающее сотни форм энергии), поэтому мы не можем ожидать, что ее производная по отношению к энтропии будет всего лишь одним явлением. Продолжайте исследовать.

Что такое температура? На этот вопрос есть очень формальные математические ответы. Однако лучший ответ, который я нашел за шесть лет своего физического образования, был в моем первом курсе термодинамики на втором курсе, в « Тепловой физике Шредера» , страницы 85-91. Однако мое понимание развилось благодаря знакомству с вероятностями и теорией информации.

Температура однозначно определяется как «насколько изменяется энтропия системы при изменении энергии этой системы».

Таким образом, любое понимание температуры, которое кто-либо хочет получить, фундаментально ограничено их пониманием того, что такое энтропия. Энтропия — это мера того, сколько информации (в битах, поскольку мы сейчас пользуемся компьютерами) требуется, чтобы узнать состояние системы.

Состояние системы (вернее, квантовое состояние) — это все, что возможно одновременно знать о системе. Как только вы узнаете все, что нужно знать о системе , вы определили ее состояние.

Энтропия эквивалентна ожидаемому количеству вопросов «да/нет», минимально необходимых для определения состояния системы . Обратите внимание на слово «ожидаемый» (означающее среднее) и слово «минимально» (означающее задавать самые лучшие вопросы, какие только можете).

Вы, наверное, никогда не слышали этого определения энтропии, но это определение на самом деле совершенно верно, за исключением того, что в физике мы умножаем это число на$k_b ln(2)$(число) просто по историческим причинам. Поэтому всякий раз, когда вы читаете энтропию , вы должны думать об ожидаемом количестве вопросов «да/нет» . Если вы не знаете, является ли монета орлом или решкой, энтропия равна 1 бинарному вопросу: «Монета выпадает орлом?».

Существует простой закон, согласно которому ожидаемое количество вопросов «да/нет», необходимых для определения состояния закрытой системы, никогда не может уменьшиться . Это известно как 2-й закон термодинамики. Это крутой закон. И когда энтропия определяется как ожидаемое количество вопросов, это всегда точный закон . Это верно даже для Демона Максвелла.

Ожидаемое количество вопросов для определения состояния закрытой системы, безусловно, может увеличиться . И так оно и будет, пока не достигнет предела. Система, достигшая этого «предела непознаваемости», занимает все возможные состояния с равной вероятностью, и я называю эту систему эргодической . Это всегда происходит, если вы ждете достаточно долго, благодаря ИМО математике цепей Маркова (каждая замкнутая система обязательно является неприводимой эргодической цепью Маркова, которая приближается к стационарному распределению). В физике это называется эргодической гипотезой .

Рассмотрим две эргодические системы, одну высокотемпературную и одну низкотемпературную.

Когда система имеет высокую температуру, это означает, что небольшие изменения энергии системы вызывают большие изменения энтропии системы (фактически это определение температуры). Думая об энтропии как об ожидаемом количестве вопросов «да/нет», это означает, что вам придется задавать намного больше вопросов, чтобы определить состояние системы, если вы добавите немного энергии.

Когда система имеет низкую температуру, это означает, что небольшие изменения энергии системы не очень сильно меняют энтропию системы. Вам не придется задавать значительно больше вопросов, чтобы определить состояние системы, если у нее немного больше энергии.

Теперь рассмотрим объединенную систему, закрытую от остальной Вселенной. Третий закон накладывает ограничение на ожидаемое количество вопросов «да/нет» для определения состояния комбинированной системы. Рассмотрим, что произойдет, если системы смогут обмениваться энергией (и только энергией!).

Если обмен энергией между низкотемпературной и высокотемпературной системами не происходит, то ожидаемое количество вопросов, необходимых для всей системы$N_{1+2}$это просто сумма ожидаемого количества вопросов для каждой подсистемы:$N_{1+2} = N_1 + N_2$.

Однако что произойдет, если две подсистемы могут и действительно обмениваются энергией? Третий закон гласит, что что бы ни случилось, ожидаемое количество вопросов, необходимых для определения состояния объединенной системы, не может уменьшиться .

Если вы знаете, что больше энергии перетекает из высокотемпературной системы в низкотемпературную (что, безусловно, может происходить, поскольку энергия течет случайным образом), вы знаете из определения температуры, что количество вопросов, необходимых для определения состояния объединенной системы, составляет уменьшилось в явном нарушении 2-го закона:$N_{1+2} < N_1 + N_2$. Однако это знание об «обратном течении энергии» невозможно получить, не задав определенного количества вопросов.$N_q$системы: точное число, требуемое 2-м законом$N_{1+2} \geq N_1+ N_2 + N_q$.

С другой стороны, если все, что вы знаете, это то, что в этой комбинированной системе происходит обмен энергией, то, исходя из эргодической гипотезы, ожидаемое количество вопросов, которые вам придется задать, только увеличивается, быстро приближаясь к эргодическому пределу. Это требует , чтобы энергия текла в среднем (случайно) от горячего к холодному. И эргодический предел — это когда горячее и холодное имеют одинаковую температуру.