Формализм матрицы плотности

Смешанное состояние математически представлено ограниченным положительным оператором трассового класса с единичной трассировкой . $\rho : \cal H \to \cal H$. Здесь$\cal H$обозначает комплексное гильбертово пространство системы (может быть несепарабельным). Множество смешанных состояний$S(\cal H)$является выпуклым телом в комплексном линейном пространстве ядерных операторов$B_1(\cal H)$который является двусторонним$*$-идеал$C^*$-алгебра ограниченных операторов$B(\cal H)$.

Выпуклая означает, что если$\rho_1,\rho_2 \in S(\cal H)$то их выпуклая комбинация , т.е.$p\rho_1 + q\rho_2$если$p,q\in [0,1]$с$p+q=1$, удовлетворяет$p\rho_1 + q\rho_2 \in S(\cal H)$.

двухсторонний$*$-идеальный означает, что линейные комбинации элементов$B_1(\cal H)$принадлежат этому пространству (множество есть подпространство), сопряженному элементу$B_1(\cal H)$остается в этом пространстве и$AB, BA \in B_1(\cal H)$если$A\in B_1(\cal H)$а также$B \in B(\cal H)$.

Я подчеркиваю, что вместо этого подмножество состояний$S(\cal H)\subset B_1(\cal H)$не является векторным пространством, так как в нем допускаются только выпуклые комбинации.

Экстремальные элементы _$S(\cal H)$, а именно элементы, которые не могут быть разложены как нетривиальные выпуклые комбинации других элементов, все являются чистыми состояниями. Они имеют форму$|\psi \rangle \langle \psi|$для некоторого единичного вектора$\cal H$. (Обратите внимание, что, поскольку фазы физически несущественны, операторы$|\psi \rangle \langle \psi|$однозначно определяют чистые состояния, т.е.$|\psi\rangle$до фазы)

Космос$B_1(\cal H)$и, таким образом, множество$S(\cal H)$допускает по крайней мере три релевантные нормированные топологии, индуцированные соответствующими нормами. Одна стандартная операторская норма$||T||= \sup_{||x||=1}||Tx||$а остальные такие:

$$||T||_1 = || \sqrt{T^*T} ||\qquad \mbox{the trace norm}$$ $$||T||_2 = \sqrt{||T^*T||} \qquad \mbox{the Hilbert-Schmidt norm}\:.$$ Можно доказать, что: $$||T|| \leq ||T||_2 \leq ||T||_1 \quad \mbox{if $T\in B_1(\cal H)$.}$$ Более того, оказывается, что$B_1(\cal H)$является банаховым пространством относительно$||\cdot||_1$(она не замкнута относительно двух других топологий, в частности замыкания относительно$||\cdot||$совпадает с идеалом компактных операторов$B_\infty(\cal H)$).

$S(\cal H)$замкнут по отношению к$||\cdot ||_1$и, более строго, это полное метрическое пространство относительно расстояния$d_1(\rho,\rho'):= ||\rho-\rho'||_1$. Когда$dim(\cal H)$конечно, три топологии совпадают (хотя нормы не совпадают) как общий результат о конечномерных банаховых пространствах.

Относительно вашего последнего вопроса существует много точек зрения. Я считаю, что матрица плотности физична точно так же, как и чистые состояния. Вопрос о том, заключает ли смешанное состояние своего рода физическое невежество, является спорным, поскольку невозможно провести различие между «классической вероятностью» и «квантовой вероятностью» в квантовой смеси, как только смесь создается. См. мой вопрос Классические и квантовые вероятности в матрицах плотности и, в частности, ответ Любоша Мотла. См. также мой ответ на вопрос «Почему применение вероятности в QM принципиально отличается от применения вероятности в других областях?»

ПРИЛОЖЕНИЕ . В конечной размерности, за исключением тривиального случая$dim({\cal H})=2$где структура пространства состояний изображается шаром Пуанкаре-Блоха как многообразие с краем ,$S(\cal H)$имеет структуру, обобщающую структуру многообразия с краем. Стратифицированное пространство . Грубо говоря, это не многообразие, а объединение (римановых) многообразий разной размерности (в зависимости от области значений операторов) и пересечения не гладкие. Когда размерность$\cal H$бесконечно, следует иметь дело с понятием бесконечномерного многообразия, и все становится намного сложнее.

Но какому математическому пространству принадлежат матрицы плотности? Ясно, что выражение$\hat{ρ}\in\mathcal{H}$неверно, поскольку смешанное состояние невозможно описать в терминах состояния в гильбертовом пространстве.

Ограниченный линейный оператор на$\mathcal{H}$имеет следовый класс тогда и только тогда, когда он имеет конечный след, не зависящий от выбора базиса (см. также ядерный оператор ). Матрица плотности - это положительный линейный оператор трассового класса.$\rho:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$со следом$1$. Я предполагаю, что$\mathcal{H}$является отделимым.

Из теоремы о разложении собственных функций (теорема Гильберта-Шмидта) следует, что она имеет вид$\rho = \sum_k p_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$, куда$p_k>0$являются ненулевыми собственными значениями и$\sum_k p_k = 1$, поэтому в этом смысле его можно описать в терминах чистых состояний в гильбертовом пространстве. На самом деле мы могли бы даже определить терминологию так: матрица плотности — это «состояние», а в частном случае — оператор проектирования на линейное подпространство пространства.$\mathcal{H}$, это "чистое состояние". Таким образом, мы можем эквивалентно рассматривать чистые состояния как частные случаи матриц плотности, а не обычный способ рассмотрения матриц плотности как обобщение чистых состояний.

Можем ли мы думать о пространстве всех возможных матриц плотности (данной размерности) как о метрическом пространстве?

Да, на самом деле они образуют нормированное векторное пространство со следовой нормой/ядерной нормой. Более того, существует тесно связанное понятие операторов Гильберта-Шмидта, которые образуют гильбертово пространство через скалярное произведение следов.

Обладает ли это пространство топологическими свойствами многообразия?

Я не знаю интересных результатов в этом направлении для матриц плотности, но мне кажется, что я видел подкласс операторов Гильберта-Шмидта, которым была дана структура риманового многообразия на основе скалярного произведения следов, но я не знаю о Детали.

Во-вторых, можно ли считать матрицу плотности «физической»? Например, если мы возьмем одиночный фотон, описанный в базисе Фока (пренебрегая поляризацией), может ли фундаментальное описание этого фотона когда-либо быть полностью смешанным состоянием... Или это только отражение некоторого невежества со стороны экспериментатора? , а реально фотон должен описываться чистым состоянием?

Матрица плотности — отражение невежества. Я не думаю, что это делает его «нефизическим». Являются ли они «нефундаментальными», зависит от того, что вы подразумеваете под «фундаментальными», особенно. в свете того факта, что мы можем рассматривать чистые состояния как частные случаи матриц плотности.

Я просто хотел бы добавить пункт о последнем вопросе:

Во-вторых, можно ли считать матрицу плотности «физической»? Например, если мы возьмем одиночный фотон, описанный в базисе Фока (пренебрегая поляризацией), может ли фундаментальное описание этого фотона когда-либо быть полностью смешанным состоянием$\frac{1}{2}(\lvert 0\rangle \langle 0 \lvert + \lvert1\rangle \langle 1 \lvert)$? Или это лишь отражение некоторого невежества со стороны экспериментатора, и в действительности фотон должен описываться чистым состоянием?

Если предположить, что фотон не коррелирован ни с какой другой системой, то смешанное состояние может возникнуть только как следствие экспериментального неведения. Однако существует множество ситуаций, в которых неизбежно возникает смешанное состояние из-за фундаментальной квантовой неопределенности. В частности, если фотон (или любая квантовая система) запутан с другой системой, то состояние одного только фотона обязательно будет смешанным. Например, рассмотрим пару световых мод в состоянии

$$\lvert \psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \lvert 0 \rangle \lvert 0 \rangle + \lvert 1 \rangle \lvert 1 \rangle \right ),$$ Если вы можете провести измерения только на одном из режимов, то ваши результаты будут эквивалентны результатам, полученным в смешанном состоянии. $$\rho = \frac{1}{2}(\lvert 0\rangle \langle 0 \lvert + \lvert1\rangle \langle 1 \lvert)$$ что дает совершенно случайные результаты. Флуктуации результатов измерений связаны с тем, что глобальная система была подготовлена ​​в чистом квантовом состоянии. $\psi$который не имеет определенного числа фотонов ни в одной из мод по отдельности. Эта неопределенность является неизбежным квантовым эффектом и возникает даже тогда, когда наблюдатель имеет максимально возможную информацию об отдельной рассматриваемой моде. В этом смысле матрица плотности является более полным описанием физических систем, чем только чистые состояния.

Когда наблюдатель имеет доступ к обоим режимам, можно разработать измерения, дающие определенные результаты, поскольку глобальная система находится в чистом состоянии. Например, измерение, которое проверяет, всегда ли оба режима имеют одинаковое количество фотонов в каждом отдельном экспериментальном запуске, всегда будет давать ответ «да» со 100% уверенностью.

Кажется, никто не ответил прямо на один из вопросов, поэтому:$\rho$живет в${\cal H}\otimes {\cal H}^*$, с${\cal H}^*$двойник${\cal H}$.

В качестве альтернативы, если кеты живут в${\cal H}$тогда бюстгальтеры живут в${\cal H}^*$чтобы$\rho$это объект, который содержит линейные комбинации вида$\vert \psi_j\rangle\langle \phi_k\vert$; обычно$\vert \psi_j\rangle \in {\cal H}$а также$\langle \phi_k\vert\in {\cal H}^*$.

Не всякая линейная комбинация типа$\vert \psi_j\rangle\langle \phi_k\vert$может войти$\rho$так$\rho$описывает физическое состояние. В фиксированном ортонормированном базисе диагональные элементы$\rho$являются классическими вероятностями и поэтому должны быть действительными неотрицательными и в сумме$1$, пока$\rho$сам должен быть эрмитовым.

Матрица плотности — это оператор, улавливающий «классическую неопределенность», я имею в виду неопределенность, возникающую в результате эксперимента. Например, у вас может быть популяция спинов$\frac 1 2$частиц, а вы знаете, что половина этого населения находится в состоянии$S_Z = \frac 1 2$а вторая половина в$S_z = -\frac{1}{2}$. Соответствующий$\hat{\rho}$является

$$\hat{\rho} = \frac 1 2 (|+\rangle\langle+| +|-\rangle\langle-|)$$ Это не означает, что состояние каждой частицы $$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$$ Эта неопределенность не является квантовой неопределенностью, потому что вы знаете , что частица находится в $\frac 1 2$государство или $\frac 1 2$. Вот почему полезна матрица плотности: она включает в себя эффекты «классической» неопределенности. Матрица плотности не является «настоящим» оператором, поскольку ее временная эволюция не следует уравнению Гейзенберга. Он удовлетворяет уравнению фон Неймана.

В вашем примере оператор плотности представляет, что с вероятностью 50% фотонов 0 (то есть система находится в основном состоянии$|0\rangle$) или 1 фотон (состояние$|1\rangle$). Это означает, что одно из состояний$|0\rangle$или же$|1\rangle$был подготовлен перед экспериментом.