Как звезда, которая коллапсировала и образовала черную дыру Шваршильда, выглядит для наблюдателя, падающего в черную дыру?

Вам нужно быть намного осторожнее , когда вы используете фразу «красное смещение» из-за того, как частота измеряется в общей теории относительности. Грубо говоря, фотон характеризуется своим волновым вектором$k$, который представляет собой светоподобный четырехмерный вектор. Частота, измеренная наблюдателем, равна$g(\tau,k)$где$g$- метрический тензор, и$\tau$- единичный вектор, касательный к мировой линии наблюдателя.

Немного базовой лоренцевской геометрии говорит вам, что для любого данного фотона$k$, мгновенно могут быть наблюдатели, видящие этот фотон со сколь угодно высокой и сколь угодно низкой частотой.

Итак: начните со своего пространства-времени. Зафиксируйте точку на горизонте событий. Зафиксируйте прохождение фотона через это пространственно-временное событие. Для любой частоты, которую вы хотите увидеть , вы можете выбрать времяподобный вектор в этом пространственно-временном событии, реализующем эту частоту. Теперь, поскольку вектор подобен времени, а горизонт событий равен нулю, геодезическая, созданная этим вектором, должна начинаться снаружи горизонта событий и пересекаться внутри. Будучи геодезическим, он представляет собой свободное падение. Итак, вывод такой:

Для любой частоты, которую вы хотите увидеть, вы можете найти свободно падающего наблюдателя, начинающегося за пределами черной дыры, такого, что он пересекает горизонт событий в заданном пространственно-временном событии и наблюдает частоту, которую вы хотите, чтобы он увидел.

---

Итак, вы спрашиваете, что это за история с гравитационным красным смещением черных дыр Шварцшильда? Некоторое время назад я написал более длинную запись в блоге на эту тему , и я не буду здесь подробно останавливаться. Но дело в том, что на черных дырах Шварцшильда (и вообще на любом сферически-симметричном решении уравнений Эйнштейна) можно нарушить свободу, данную локальной лоренц-инвариантностью, используя глобальную геометрию.

По Шварцшильду имеем, что решение стационарно . Следовательно, мы можем использовать времяподобное векторное поле Киллинга * для симметрии переноса времени в качестве «глобальной линейки», относительно которой можно измерить частоту фотонов. Именно это подразумевается под "гравитационным красным смещением" в большинстве учебников по общей теории относительности (см., например, Уолда). Обратите внимание, что, поскольку мы зафиксировали фоновую линейку, частота, о которой идет речь, отличается от частоты, «видимой произвольным падающим наблюдателем».

(Есть еще один смысл, в котором часто говорят о красном смещении, когда два наблюдателя падают, один «улетает первым», а второй «следует за ним». В этом случае вам снова нужна симметрия переноса времени, чтобы понять утверждение, что второй наблюдатель «отправился из той же точки пространства, что и первый наблюдатель, но в более позднее время.)

Оказывается, для общих сферически-симметричных решений существует такое понятие, как векторное поле Кодама , которое совпадает с векторным полем Киллинга на Шварцшильде. Вне горизонта событий векторное поле Кодама подобно времени и, следовательно, может использоваться вместо глобальной линейки, относительно которой измеряется красное смещение, когда пространство-время предполагается сферически симметричным, но не обязательно стационарный. Опять же, это понятие красного смещения не зависит от наблюдателя . И это сыграло важную роль (хотя иногда проявляясь способами, которые явно не связаны непосредственно с красным смещением, через выбор координат и тому подобное) в изучении динамического сферически-симметричного гравитационного коллапса в литературе по математической физике.

---

Обобщить:

Если вы просто сравните частоту света, измеренную (а) при его излучении на поверхности звезды в системе покоя, связанной с коллапсом, и (б) при произвольном свободном падении наблюдателя, вы можете получить практически любые значения, какие захотите. (В основном потому, что эффект Доплера зависит от скорости наблюдателя, и вы можете изменить это на что угодно, выбрав соответствующие начальные данные для свободного падения.)

---

Последний комментарий к вашему последнему вопросу:

Вы спросили о том, что происходит внутри черной дыры. Опять же, любая частота может быть реализована времяподобными наблюдателями локально . Тогда вопрос сводится к тому, можете ли вы сконструировать таких времяподобных наблюдателей, которые появились бы в результате свободного падения, начавшегося за пределами черной дыры. По основным соображениям причинности, если вы начнете с времяподобного вектора в пространственно-временном событии внутри черной дыры, образованной в результате гравитационного коллапса, двигаясь назад по времениподобной геодезической, созданной вектором, вы либо столкнетесь с поверхностью вашей звезды , или выйти из черной дыры. Хотя именно то, как они разделены, зависит от точной природы гравитационного коллапса.

Я должен добавить, что если вы используете точку зрения «глобальной линейки», были выдвинуты аргументы, аналогичные тому, как можно ожидать красного смещения вблизи горизонта событий, следует также ожидать синего смещения вблизи любого горизонта Коши, который должен существовать. Это было продемонстрировано (математически) в черных дырах Рейснера-Нордстрема (и подобных им). Но поскольку даже красное смещение иногда может столкнуться с проблемами (экстремально заряженные черные дыры), не следует ожидать, что утверждение о голубых смещениях вблизи горизонта Коши будет верным для всех пространств-времен.

Я не могу найти кнопку «добавить комментарий к ответу»; но со ссылкой на комментарии к предыдущему ответу, дерзайте, Рон, и, несомненно, кто-то еще прокомментирует то, в чем вы не уверены. Так мы все учимся.

Когда звезда приблизится к горизонту событий, не будет ли «почти радиальный» (к дыре) свет преломляться вокруг дыры и быть видимым как вблизи, так и вдали, как ореол?

Это тонкий вопрос, потому что то, что вы видите, зависит от конкурирующих эффектов. Ответ зависит от того, как именно вы попадете в черную дыру, так как от вашего бустинга очень сильно зависит появление предметов. Если вы отдаляетесь от любого объекта, объект смещается в красную сторону, расплывается в вашем поле зрения и тускнеет, а если вы ускоряетесь к нему, он смещается в синеву, сжимается в вашем переднем поле зрения и становится ярче. Это означает, что то, что вы видите, зависит от того, ускоряетесь ли вы по направлению к черной дыре, чтобы быстро в нее врезаться, или ускоряетесь ли вы от черной дыры, так что при пересечении вас сильно отбрасывает наружу (типичная ситуация для поздно падающего наблюдателя). )

Световые лучи в момент пересечения горизонта от звезды остаются на горизонте навсегда, поэтому вы всегда можете (классически) собрать некоторое количество излучения от звезды, независимо от того, как поздно вы пересекаете горизонт. Но размер изображения, яркость формы и изменение смещения зависят от вашего усиления таким образом, что вы никогда не видите слишком много звезды в поздние моменты времени. Если вы начнете двигаться очень быстро к центру черной дыры, вы увидите маленькое яркое изображение звезды прямо впереди, в направлении сингулярности, размер которой обратно пропорционален времени, в которое вы пересекаете его (аффинный параметр место вашего пересечения). Если вы входите естественным образом, то есть вы какое-то время ускоряетесь у горизонта, чтобы не упасть, а затем отпускаете себя, то вы видите растянутое тусклое изображение с красным смещением (то же изображение, что и раньше, в другом кадре),

Решение рядом с горизонтом

Форму решения Швартшильда для ближнего горизонта можно найти, написав$r=2M+u^2$в обычной координате r, как описано здесь: Почему пространство-время вблизи квантовой черной дыры примерно AdS? . Вы получаете (выбирая единицы измерения так, чтобы 2M=1, и называя время Швартшильда$\theta$):

$$ds^2 = - u^2 d\theta^2 + du^2 + (1 + {u^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Это пространственный крест Риндлера со сферой, так что вы можете преобразовать его в пространственный крест Минковски.$S_2$используя координаты$t=u \sinh(\theta)$ $x=u \cosh(\theta)$

$$ds^2 = - dt^2 + dx^2 + (1 + {x^2 - t^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Это ближнегоризонтная форма, включающая изменение радиуса сферы в ведущем порядке с удалением от горизонта. Горизонт - светлый путь$x=t$. Область$t>x$внутри переднего светового конуса начала координат находится область, в которой радиус сферы сжимается, и это внутренняя часть черной дыры, а область$t<x$пространственноподобная и справа от начала координат находится внешность черной дыры

Проблема заключается в трассировке лучей в геометрии Шварцшильда, поэтому нужно рассматривать световые лучи, исходящие из точки пересечения.$x=t=t_0$на горизонте. Обратный световой конус из этой точки можно параметризовать, выбрав вектор, указывающий в прошлое, в M_2 и добавив соответствующий компонент длины вдоль сферы.

Без обмотки

Главный вопрос в решении проблемы заключается в том, видите ли вы несколько изображений. Световые лучи у горизонта, приближаясь к внешней стороне, медленно путешествуют по поверхности черной дыры, и вы можете подумать, что можете видеть много изображений звезды из-за лучей, которые медленно ползут вокруг черной дыры, чтобы достичь вас от звезды после обмотка.

Это не так, потому что время на один оборот всегда сравнимо со временем, которое требуется свету, чтобы уйти от поверхности черной дыры. Легче всего это увидеть в продукте окологоризонтного решения.

Учитывая, что луч света попадает в глаза под небольшим углом$\theta$прямо к центру черной дыры, неспособность луча быть генератором горизонта пропорциональна$\theta^2$, а составляющая по сферическому фактору ближнего горизонта решения пропорциональна$\theta$.

Но если вы посмотрите на количество$x^2-t^2$, который$u^2$,квадрат разницы радиальной координаты Шварцшильда от 2М, вдоль приближенной геодезической, это

$$(t-s)^2 - (t - s\cos(\theta))^2 = s(t-s)\theta^2$$

Это количество увеличивается до максимума$(t\theta/2)^2$. Когда этот максимум сравним с 1, проследивший световой луч выходит из области гравитационного продукта. Эта эвристика показывает, что время выхода равно$\theta\propto 1/t$, с точностью до малых множителей порядка единицы.

Так как время намотки также$t\propto 1/\theta$, обмоток нет --- световой луч покидает пригоризонтную область произведения, прежде чем успевает пройти один раз.

Размер звездного изображения

Угловой размер звездного изображения определяется аффинным параметром выхода за пределы области горизонта для обратного луча под углом$\theta$от линии к центру черной дыры.

Поскольку решение выглядит (почти) как произведение прямо у горизонта, геодезические — это просто прямые линии в пространстве Минковского, которые одновременно обвивают сферу. Отсутствие намотки показывает, что угловой разброс изображения звезды (при условии, что вы входите в тот же кадр повышения, что и звезда, когда звезда пересекает горизонт) меньше, чем угол, на который будет накручиваться один полный оборот в аффинном параметре.$t$где вы пересекаетесь.

Это означает, что угловой разброс звезды падает как$1/t$. Это изображение в кадре без усиления, которое определяется путем перевода кадра падающей звезды без усиления в пространственный фактор Минковски произведения.

Усиление эффектов

Эффект бустинга заключается в конформном преобразовании сферы падающих световых лучей. Это очень хорошо описано в «Спинорах и пространстве-времени» Пенроуза, том 1. Качественный эффект ясен: если вы двигаетесь очень быстро в определенном направлении, свет в вашем кадре имеет дополнительный импульс в противоположном направлении, концентрируя свет в вашем переднем поле зрения и сдвигая его в синий цвет. Свет позади вас смещается в красную сторону и уходит в небытие.

Для черной дыры перенос времени вдоль горизонта является преимуществом, так как внешний параметр времени$\theta$является параметром повышения. Это означает, что если вы долго ждете во внешних координатах и ​​смотрите на ту же скорость, переведенную в будущее с помощью вектора Киллинга времени, эта скорость будет увеличена вдали от центра черной дыры на величину, пропорциональную времени.

Визуальное изображение звезды не затемняется и сжимается на величину, пропорциональную t, в «системе покоя» коллапсирующей звезды (кадр покоя я беру в кавычки, потому что это система отсчета метрики ближнего горизонта M_2 x S_2). Он не затуманен, потому что природа продукта решения не позволяет световым лучам рассеиваться, но он сжат до углового размера 1/t, потому что большая часть лучей не попадает в звезду.

Но когда вы падаете с той же скоростью в более поздние моменты времени t, вы увеличиваете количество, пропорциональное t. Повышение на величину, пропорциональную t, расширит угловую область позади на экспоненциально растущую величину по t. Это приводит к экспоненциальному затемнению изображения, так что вы действительно ничего не увидите, если попадете в позднее время естественным образом.

Красное смещение превращается в синее, когда падающий наблюдатель приближается к горизонту событий. Я не знаю наверняка, не вернутся ли фотоны, которые он видит, пересекая горизонт событий, вообще без смещения, или все же будет чистое красное смещение или даже синее смещение — кто-нибудь знает?

Но поверхность звезды будет выглядеть все тусклее и тусклее по мере приближения падающего наблюдателя к горизонту событий. Также наблюдатель сможет видеть все меньший и меньший участок поверхности звезды прямо под ним в радиальном направлении по мере приближения к горизонту событий.

Причина этого в том, что по мере приближения исходной звезды к горизонту событий только фотоны, испускаемые все более узким конусом вдоль радиального направления, смогут избежать попадания в черную дыру. На горизонте событий только фотоны, испускаемые точно в радиальном направлении, останутся замороженными на горизонте, ожидая, пока падающий наблюдатель не увидит.

Как только наблюдатель выйдет за горизонт событий, он вообще ничего не увидит, поскольку передний световой конус указывает внутрь в «пространственном» направлении к сингулярности.

Наконец, эти соображения влияют на то, что видит наблюдатель на бесконечности — по мере приближения поверхности звезды к горизонту событий не только фотоны будут смещаться все больше и больше в красную сторону, но, кроме того, участок звезды, который может видеть наблюдатель на бесконечности, будет уменьшаться. все меньший и меньший диск, который будет сжиматься в точку за бесконечное время.