Простой вывод формулы центростремительного ускорения?

Представьте себе объект, неуклонно пересекающий окружность радиусом$r$сосредоточены на происхождении. Его положение может быть представлено вектором постоянной длины, изменяющим угол. Общее расстояние, пройденное за один цикл, равно$2\pi r$. Это также накопленная сумма, на которую изменилась позиция.

Теперь рассмотрим вектор скорости этого объекта: его также можно представить вектором постоянной длины, постоянно меняющим направление. Этот вектор имеет длину$v$, поэтому накопленное изменение скорости равно$2 \pi v$.

Тогда величина ускорения$\frac{\text{change in velocity}}{\text{elapsed time}}$, что мы можем записать как:

$$a = \frac{2 \pi v}{\left(\frac{2\pi r}{v} \right)} = \frac{v^2}{r} \,.$$

КЭД

---

Кроме того: этот вывод используется во многих учебниках по алгебре/триггерам.

В прямоугольном треугольнике АВС

$$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\Delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\Delta \vec \theta}{2} \tag{01} \end{equation}$$ Если $$\begin{equation} \theta \tag{02} \end{equation}$$ маленький $$\begin{equation} v(t) \approx v(t + \delta t ) = \mathbf{\vec v} \tag{03} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \tag{03} \end{equation}$$ Для малого угла $$\begin{equation} \delta \theta \approx Sin {\delta \theta} \tag{04} \end{equation}$$ Итак, при перестановке $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2} =\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \times \vec v \tag{05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \delta \mathbf{\vec v} =\delta \vec \theta \times \vec v \tag{06} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \times \vec v \tag{07} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} \tag{08} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec \omega =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \tag{09} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\vec \omega \times \vec v \tag{10} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\omega \times v \tag{11} \end{equation}$$ И с тех пор $$\begin{equation} \mathbf{v}=\omega \times r \tag{12} \end{equation}$$ Так $$\begin{equation} \mathbf{a}=\dfrac {v^{2}}{\mathbf{r}} \tag{13} \end{equation}$$

Вы можете сделать этот вывод, разбив положение орбитальной частицы на компоненты. Он не короткий, но я думаю, что он полезен, потому что дополняет алгебру конкретными физическими аналогиями. Я организую его в четыре части: разложение , колебание , энергия и симметрия .

Разложение

Положение частицы, движущейся по круговой траектории, можно описать двумя полусинусоидальными волнами, наполовину не совпадающими по фазе, или, что то же самое, синусоидой и косинусоидой:

_{( через )}

Это легко вывести: предположим, что частица движется с постоянной угловой скоростью$\omega$по кругу радиуса$r$. Затем$\theta = \omega t$, а базовая тригонометрия говорит нам, что заданное положение частицы$\theta$дан кем-то$x = r \cos \theta$и$y = r \sin \theta$. Мы можем заменить, чтобы получить$x = r \cos (\omega t)$и$y = r \sin (\omega t)$.

колебание

Оказывается, есть еще один тип движения, описываемый синусоидами: колебания груза на пружине . В такой системе

$$x(t) =A \cos \left(\sqrt{k \over m}t \right)$$

где$A$- амплитуда (т. е. разница между максимальной длиной пружины и ее длиной покоя),$k$постоянная силы пружины по закону Гука, и$m$это, конечно, масса. Вывод этого уравнения обычным способом требует не только математических вычислений, но и дифференциальных уравнений, поэтому я попрошу вас поверить мне на слово чуть позже.

Для наших целей это означает, что механика орбитальной частицы может быть смоделирована двумя колеблющимися пружинами: одна для$x$компонент и один для$y$компонент, который идентичен первому, но наполовину не в фазе с ним. Чтобы представить, как это выглядит, вернитесь к анимации выше и представьте, что синяя и красная точки прикреплены к пружинам,$0$когда отдыхаешь.

Теперь, когда у нас есть эта модель на основе пружины, мы можем использовать ее для определения силы, приложенной к частице вдоль$x$ось! По закону Гука сила, с которой пружина действует на прикрепленный груз, равна$F = -kx$. Попробуем использовать эту формулу для определения ускорения частицы, когда$x$пружина на максимальной длине. Мы знаем, что его максимальная длина будет$r$в данном случае -- это соответствует моменту, когда частица находится в$x = r, y = 0$. И мы знаем, что$F = ma$. Таким образом, путем замены$ma = -kr$; Поделить на$m$, и

$$a = -k \frac{r}{m}$$

Наша работа наполовину сделана. Но теперь у нас новая проблема: мы не знаем, что$k$в конце концов, настоящей пружины нет, поэтому мы ничего не можем измерить. Нам нужно знать, какое значение$k$будет иметь пружина, если она будет двигаться так же, как частица вдоль$x$ось. Чтобы решить эту проблему, мы должны начать думать о законах сохранения.

Энергия

Давайте подумаем, что происходит, когда$x$пружина колеблется. Когда весна на$x = r$, он оказывает на частицу наибольшую силу, но частица вообще не движется. Это прямо на пике волны. Это значит$v = 0$. С этого момента сила, с которой пружина действует на частицу, будет ускорять ее от$0$до наибольшей скорости$-v_\text{max}$. ¹ И к тому времени, когда частица достигает$x = 0$, пружина не будет прилагать усилия; это состояние покоя пружины. Поскольку пружина не действует, мы достигли$-v_\text{max}$-- направление будущего ускорения будет в противоположном направлении, замедляя частицу до тех пор, пока она не достигнет$x = -r$.

Так это значит, что при$x = r$, у нас есть$F = -F_\text{max}$,$a = -a_\text{max}$, и$v = 0$. И в$x = 0$, у нас есть$F = 0$,$a = 0$, и$v = -v_\text{max}$.

Вот что происходит: энергия в системе движется вперед и назад между максимальной кинетической энергией (при$x = 0$когда пружина совсем не растянута и не сжата) и максимальной потенциальной энергии (при$x = r$, когда пружина полностью растянута). И из-за сохранения энергии эти два максимума должны быть равны; другими словами,$E_\text{max}$"="$P_\text{max}$.

Формула кинетической энергии$E = \frac{1}{2} mv^2$-- это основная ньютоновская механика. Какая формула для$P$в этом случае? Это самая сложная часть вывода. Потенциальная энергия, запасенная пружиной, равна отрицательной работе , затраченной на ее растяжение .$x = r$. Итак, мы должны запомнить формулу работы:$W = Fd$, где$d$обозначает пройденное расстояние -- т.е.$x$, предполагая, что мы начинаем с$x = 0$. Но тогда у нас есть проблема.$F = -kx$не постоянна - это функция$x$.

В общем, это означало бы, что мы должны сделать исчисление. Но, к счастью,$F = -kx$является линейной функцией, поэтому искомое значение равно площади треугольника, образованного$x$ось и линия$F = -kx$:

( через )

На приведенном выше графике$k = 1$, пройденное расстояние$d = x_\text{max} = 1$, а площадь данного треугольника представляет собой значение, полученное при умножении$F(x)$по пройденному расстоянию с поправкой на изменение значения$F$по мере увеличения расстояния. Но так как высота треугольника$-kx_\text{max}$а основание треугольника$x_\text{max}$, мы можем просто использовать простую старую геометрию. Площадь треугольника$\rm \frac{1}{2} base \times height$-- или, здесь, потому что$x_\text{max} = r$

$$W = -\frac{1}{2} kr^2$$

А так как потенциальная энергия равна отрицательной работе :

$$P = \frac{1}{2} kr^2$$

Разве не интересно, насколько это похоже на$E = \frac{1}{2} mv^2$? Если вы подумаете об этом некоторое время и подумаете, что$E + P$должно быть постоянным значением, вы можете начать понимать, почему колеблющаяся пружина движется по синусоидальной траектории! (Подсказка: напишите формулу круга, но используйте$\sqrt{E + P}$вместо$r$, и$v$вместо$y$.)

Но вы можете вернуться к этому позже. Мы очень близко! Параметр$v = v_\text{max}$:

$$E + P = E_\text{max} = P_\text{max} = \frac{1}{2} kr^2 = \frac{1}{2} mv^2$$

Что происходит, когда мы решаем для$k$?

$$\begin{align}\frac{1}{2} kr^2 &= \frac{1}{2} mv^2\\ \implies kr^2 &= mv^2\\ \implies k &= \frac{mv^2}{r^2}\end{align}$$

Теперь мы можем подставить это в нашу формулу ускорения выше:

$$\begin{align}a &= -k \frac{r}{m}\\ &= -\frac{mv^2}{r^2} \frac{r}{m}\\ &= -\frac{v^2}{r}\end{align}$$

Вам может быть интересно, почему в этой версии появляется отрицательный знак. Но помните, что ускорение технически происходит в направлении, противоположном смещению. Так когда$x = r, y = 0$, ускорение направлено в$-r$. Если бы это было иначе, частица разгонялась бы наружу! ²

Симметрия

Последний шаг этого вывода требует хитрости. Мы начали с того, что разбили движение в двух измерениях на движение по двум одномерным компонентам. Затем мы использовали воображаемые пружины для описания движения частицы вдоль этих двух компонентов. И теперь мы сталкиваемся с последним вопросом: как мы выбираем нашу$x$и$y$компоненты?

Они должны располагаться под прямым углом друг к другу, но это только полдела — нам нужно найти «правильное место» для начала, «настоящее».$x$координировать. Беда в том, что мы не можем. Круговой путь, по которому движется частица, осесимметричен. В круге нет ничего, что могло бы сказать нам, где он «начинается» или «заканчивается».

Это означает, что приведенная выше цепочка рассуждений сохраняется независимо от того, с чего мы начнем. В качестве точки можно выбрать любую точку окружности.$x=1, y=0$пункт, и вышесказанное будет действительным. Таким образом, где бы ни находилась частица, мы просто устанавливаем эту точку как нашу.$x = r, y = 0$пункт, и все остальное становится на свои места.

Если бы мы хотели сделать больше работы для себя, мы могли бы разработать детали тригонометрически, используя приведенные выше формулы, адаптируя их к$y$ось, а затем рекомбинация$x$и$y$значения с помощью векторной алгебры. Но нам это и не нужно — аргумент симметрии в данном случае более силен.

^{1. Здесь «самый большой» на самом деле означает «самый отрицательный», потому что частица движется в отрицательном направлении.$x$направление. Эти значения действительно будут$-F_\text{max}$и$-v_\text{max}$. В дальнейшем, когда частица движется в противоположном направлении, эти значения будут положительными.}

^{2. Чтобы разобраться в знаках, нужно много работать над тонкими деталями; в частности, вы должны понять, почему отрицательная работа становится положительной потенциальной энергией. Это также помогает думать о$r$как вектор (у которого есть направление) вместо величины (у которой нет). К счастью, в этом случае физическая интуиция дает надежное руководство; если что-то окажется явно неправильным, перепроверьте свое мышление.}

Чтобы двигаться по вогнутому пути, агент должен приложить силу к объекту, который в противном случае движется линейно. Объект в силу своего движения в отсутствие какой-либо внешней силы всегда движется или стремится двигаться в направлении вектора скорости в рассматриваемый момент.

Итак, когда объект должен пересечь кривую траекторию, основным требованием является введение силы, которая манипулирует направлением скорости так, чтобы результирующее геометрическое место было требуемой криволинейной траекторией, иначе объект двигался бы прямо.

Направление силы, очевидно, есть направление ускорения или предел изменения скорости во времени. Итак, чтобы найти направление, давайте представим бесконечно малую ситуацию.

Пусть на короткое время$\Delta t$, пройденное расстояние равно$v(t)\Delta t$по дуге окружности радиусом$r$. Тогда пройденный угол равен

$$\Delta\theta = \dfrac{v(t) \Delta t}{r}$$ .

Представьте себе биссектрису угла. Теперь рассмотрим изменения скорости параллельно и перпендикулярно этой биссектрисе. Первоначально скорость имеет составляющую$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$вдали от центра и$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$поперечно. После этого он имеет компонент$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$ к центру &$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$поперечно, как и раньше. Таким образом, изменение скорости имеет величину$2v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$к центру дуги.

Как$\Delta\theta$исчезающе мала,$\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$становится неразличимым, как$\dfrac{\Delta\theta}{2}$. Таким образом, мы можем положить

$$|\Delta v(t)| = v^2 \dfrac{\Delta\theta}{r}$$ . И направление к центру. Таким образом, сила вращает вектор положения по криволинейной траектории, и изменение происходит радиально внутрь, независимо от того, отслеживается ли он по часовой стрелке или против часовой стрелки.

---

Картина станет более яркой, если мы будем рассчитывать с использованием полярной координаты.

Во-первых, мы запишем вектор положения как$\mathbf{r} = r\cdot \mathbf e_r$. Теперь рассмотрим изменение$\mathbf{r}$с течением времени. Его изменение в течение$\Delta t$является$r\Delta\theta \cdot \mathbf e_{\theta}$.$e_r \, \textrm{and} \, e_{\theta}$взаимно перпендикулярны, первая из них направлена ​​наружу радиально от центра. Поэтому скорость

$$\mathbf v = \dfrac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt} = r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\cdot \mathbf e_{\theta} = \omega r \cdot \mathbf e_{\theta}$$ .

Поставив$r = 1$, мы получаем

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_r) = \omega \mathbf e_{\theta}\;.$$

Точно так же изменение$\theta$подразумевает изменение$\mathbf e_{\theta}$.Видно, что

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -\omega \cdot \mathbf e_r\;.$$ Теперь дифференцируем скорость, $$\mathbf{a} = \omega r \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -{\omega}^2 r\cdot \mathbf e_r \;.$$ Этот результат автоматически падает вниз с правильным направлением, противоположным $\mathbf e_r$т.е. к центру радиально.