Хорошие математические книги для самостоятельного изучения

Я очень рекомендую книгу «Конкретная математика» Орена Паташника, Дональда Э. Кнута и Рональда Л. Грэма.

Я не знаю, соответствует ли оно точно вашим критериям, или, скорее, я не уверен, что каждый читатель согласится с тем, что оно соответствует вашим критериям, но, по моему мнению, соответствует.

В первой главе, например, обсуждаются три хорошо известные головоломки того типа, которые будут решаться с помощью методов, которым будет обучаться в книге. Каждая головоломка представлена ​​полностью, прежде чем обсуждать какой-либо подход к ее решению.

Книга требует ОЧЕНЬ активного чтения, и если вы будете пассивно сидеть сложа руки, не прилагая собственных усилий для решения каждой проблемы по мере ее поступления, а не прочитав всю главу, вы, вероятно, полностью потеряетесь. ;)

Что я бы рекомендовал для прочтения этой книги, так это то, что вы:

1. Поиграйте с каждой проблемой по мере ее возникновения, прежде чем читать дальше.
2. После того, как вы либо решили задачу, либо дошли до нее без посторонней помощи, прочитайте еще несколько абзацев (или хотя бы еще один абзац).
3. Поиграйте с новыми идеями и подходами, представленными в этом абзаце. Посмотрите, не сделаете ли вы какие-либо открытия о них самостоятельно.
4. Повторить.

Приятно то, что обсуждение головоломок и исследовательские открытия каждой из них выходят далеко за рамки простого решения самой головоломки. Так что исследования очень определенно поощряются.

Еще одно замечание: я настоятельно рекомендую вам прочитать предисловие, прежде чем вы начнете читать главу 1. Это прояснит некоторые соглашения; например, это объяснит, почему по всей книге разбросаны комментарии студентов курса. :)

Выдержка из предисловия (на самом деле, это моя любимая часть предисловия):

Название курса «Конкретная математика» изначально задумывалось как противоядие от «Абстрактной математики», поскольку конкретные классические результаты быстро вытеснялись из современной математической программы новой волной абстрактных идей, широко называемой «Новой математикой». Абстрактная математика — замечательный предмет, и в этом нет ничего плохого: она прекрасна, универсальна и полезна. Но ее приверженцы заблуждались, считая, что остальная математика ниже и не заслуживает внимания. Цель обобщения стала настолько модной, что целое поколение математиков стало неспособным наслаждаться красотой в частном, получать удовольствие от решения количественных задач или ценить ценность техники. Абстрактная математика укоренялась и теряла связь с реальностью;

И еще один отрывок из предисловия, который (по крайней мере для меня) очень ясно показывает, что это «книга моего типа»:

Некоторые думают, что математика — серьезное дело, которое всегда должно быть холодным и сухим; но мы думаем, что математика — это весело, и нам не стыдно признать этот факт. Почему между работой и игрой должна быть проведена четкая граница? Конкретная математика полна привлекательных моделей; манипуляции не всегда просты, но ответы могут быть удивительно привлекательными.

Я очень рекомендую «Основы математического анализа» Пола Салли. Он включает в себя несколько независимых проектов в конце каждой главы, где он направляет вас (в общих чертах, вся работа зависит от вас) через разработку таких вещей, как топология, интеграция на$\mathbb{R}^n$, измерить, спектр и т.д. самостоятельно!

Мой любимый на данный момент: Исчисление Майкла Спивака (отказ от ответственности: я все еще работаю над ним). Несмотря на превосходный текст, он относительно лаконичен, и каждая глава читается как хорошая лекция, в которой излагаются определения и основные результаты, а также вводится предмет, поддерживающий интерес читателя. На мой взгляд, текст можно было бы пролистать и использовать в качестве справочного материала для тех, кто хочет погрузиться в проблемы, это настоящее сокровище. Большинство задач довольно интересные и довольно сложные, практически без подсказок о том, как их решить, в тексте. Много раз я часами боролся, пытаясь решить одну из его проблем, только чтобы вернуться, чувствуя себя очень обогащенным от моих запоев в Википедии, часовых размышлений, проб и ошибок и пота.

Ознакомьтесь с «Комбинаторными задачами и упражнениями» Ласло Ловаша. Мой профессор порекомендовал эту книгу, похоже, ее идея заключается в том, что вы изучаете предмет, решая задачи, так что, надеюсь, это вам подходит.

Книга задач о гильбертовом пространстве Пола Халмоса. Это вводный учебник, но его стиль заключается в том, чтобы ввести определение, привести несколько примеров, а затем попросить читателя доказать результаты (теоремы) по нему. (Например, «Докажите, что каждое непустое слабо открытое множество неограниченно».) Доказательства автора собраны в конце книги.

Удивлен, что этот еще не поставили. Я предлагаю «Флатландию», классику Эдвина Эббота. Флатландцы (двухмерные геометрические объекты) делятся на социальные классы, где чем больше сторон у любой формы, тем выше ее ранг. Круги — это дворяне, равнобедренные треугольники — это рабочие и т. д. Все они считают, что измерений не больше 2, а линейноземцы (те, кто живет на линии за пределами Флатландии) считают, что высшее измерение — это первое, а Точка верит только в себя. Когда главного героя посещает Сфера, он узнает гораздо больше о геометрии, топологии и т. д.

Судя по вашим правкам, вопросы интересуют вас гораздо больше, чем какой-либо учебник.

В таком случае я рекомендую книгу старых классиков; «Развлечения в математике» Генри Дьюдени .

Генри Дьюдени жил с 1857 по 1930 год. Там есть несколько настоящих классических головоломок, охватывающих самые разные области математики.

Выдержка из заголовка раздела «Арифметические и алгебраические задачи» с выделением добавлена:

Головоломки в этом отделе грубо объединены в классы для удобства читателя. Одни очень легкие, другие довольно сложные. Но они не расположены ни в каком порядке сложности — и это сделано намеренно, потому что хорошо, что решающий не должен быть предупрежден о том, что головоломка — это именно то, чем она кажется. Следовательно, он может оказаться таким же простым, как кажется, или может содержать какую-то ловушку, в которую мы можем попасть из-за отсутствия осторожности или чрезмерной самоуверенности.

Кроме того, арифметические и алгебраические задачи не разделены так, как это принято у некоторых авторов, которые произвольно требуют решения тех или иных задач тем или иным методом. Читателю предоставляется сделать свой собственный выбор и определить, какие головоломки он способен решить чисто арифметически.

В своих математических исследованиях вы не можете получить гораздо меньше ориентира , чем чистая книга головоломок, которая даже не предупреждает вас об относительных уровнях сложности задач.

Я по-прежнему предпочитаю конкретную математику, так как я более уверен, что головоломки на самом деле куда-то ведут (ведут к глубокому развитию интересных идей), но если вам просто нужны вопросы, вы можете попробовать эту.