Смысл действия

Действие$S$не является известным объектом для неспециалистов; однако, когда серьезно работаешь физиком, это становится таким же важным и естественным, как энергия$H$. Так что это действие, вероятно, не интуитивно понятно для неопытных пользователей - и нет причин его скрывать - но оно важно для профессиональных физиков, особенно в физике элементарных частиц и теоретической физике.

Заявление ОП о том, что гамильтониан соответствует энергии, является пустой тавтологией, потому что гамильтониан является техническим синонимом энергии. Точно так же можно сказать, что действие интуитивно соответствует Wirkung (немецкое название), потому что это тоже одно и то же. Поскольку теперь у него два имени, он становится более естественным :-), и ОП также может обвинить энергию в том, что у нее есть «неестественные» единицы действия в единицу времени. Другими словами, вопрос предполагает, что энергия (и ее единица) более фундаментальна и интуитивна, чем действие (и ее единица), поэтому неудивительно, что, используя свои предположения, ОП также может «вывести» вывод о том, что энергия более фундаментальна и интуитивна, чем действие. ;-)

Но верно ли предположение = вывод? Что ж, энергия интуитивна, потому что она сохраняется, а действие интуитивно, потому что оно сведено к минимуму, так что качественной разницы в их важности нет.

Конечно, единственная разница в том, что нефизики вообще не учатся использовать действие. Энергию можно представить себе как «картошку», которую может делать каждый; действие — это абстрактная партитура истории, которая полезна только тогда, когда мы начинаем выводить из нее дифференциальные уравнения, что почти никто не может себе представить. Если опыт неспециалиста с понятием измеряет, является ли что-то «интуитивным», то действие просто менее интуитивно, и нет причин притворяться иначе. Однако физики узнают, что это в некотором смысле более фундаментально, чем энергия.

Что ж, гамильтониан — это ключевая формула, определяющая эволюцию во времени в гамильтоновой картине, в то время как действие — это ключевая формула для определения эволюции в более красивой, ковариантной, «пространственно-временной» картине, поэтому физики HEP используют ее все время.

Что за акция вообще

В противном случае основным смыслом действия является принцип наименьшего действия , который должен усвоить каждый, если он хочет знать что-либо о самом действии.

Исторически этот принцип — и концепция действия — обобщали различные правила для световых лучей, сводящие к минимуму время, чтобы куда-то добраться, и так далее. Нет смысла изучать количество, не узнав об определяющем «приложении», которое делает его важным в физике. Энергия определена таким образом, что она сохраняется всякий раз, когда законы Природы симметричны во времени; а действие определяется как то, что сводится к минимуму историей, которую система в конечном счете использует, чтобы подчиняться тем же законам.

Энергия — это свойство системы в фиксированный момент времени, и поскольку она обычно сохраняется, она имеет одни и те же значения во все моменты времени. С другой стороны, действие не связано с состоянием физического объекта; это связано с историей.

Есть один момент, который я должен еще раз подчеркнуть. Для конкретных систем могут существовать определенные «определяющие» формулы для гамильтониана или действия, такие как$E=mv^2/2$или$S = \int dt(mv^2/2-kx^2/2)$. Однако это не самые универсальные и достоверные определения понятий. Эти формулы не объясняют, почему они были выбраны именно таким образом, для чего они хороши и как их обобщить в других системах. И не следует удивляться, что из этих формул можно вывести правильные уравнения движения для$H$или$S$.

Вместо этого энергия универсально определяется таким образом, что она сохраняется в результате трансляционной симметрии времени; и действие определяется таким образом, что выполняется условие$\delta S = 0$(стационарность действия) эквивалентна уравнениям движения. Это общие условия, определяющие понятия вообще и делающие их важными; частные формулы для энергии или действия являются лишь частными применениями общих правил.

В тексте выше я говорил о классической, т.е. неквантовой физике. В квантовой физике действие не выбирает единственную допустимую историю; вместо этого вычисляются амплитуды вероятности как суммы по всем историям, взвешенным по$\exp(iS/\hbar)$которое, как легко видеть, сводится к классическим предсказаниям в классическом пределе. Стационарное действие истории означает, что близлежащие истории имеют схожую фазу и конструктивно интерферируют друг с другом, делая классически допустимую историю важнее других.

Вот попытка интуитивной аналогии:

Вы, должно быть, слышали классическое выражение «кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая линия» в евклидовой геометрии.

Интеграл действия аналогичен расстоянию в обобщенных координатах изучаемой системы. Его минимизация дает кратчайший путь в конфигурационном пространстве от момента времени t1 до момента времени t2 и называется принципом наименьшего действия. Его применение приводит непосредственно к уравнениям Лагранжа, из которых выводятся уравнения движения системы.

Глава 2 «классической механики» Г. Гольдштейна (доступна в Интернете) является хорошим введением в это и в вариационные принципы.

Как неспециалист, я не могу предложить слишком много, но я могу предложить то, что я думаю о действии.

Ключевое различие в классической механике между гамильтонианом и лагранжианом состоит в том, что гамильтониан (H) представляет собой сумму кинетической энергии (T) и потенциальной энергии (V), где лагранжиан (L) представляет собой разность:

В случае простого гармонического движения (например, масса, пружинная система) мы можем использовать следующие уравнения для различных типов энергии:

Я бы отослал вас к большинству элементарных текстов, но решение для положения как функции времени для описанной простой гармонической системы таково:

и для скорости:

Параметр$A = 2$, и$m=k=1$мы можем построить следующий график во времени:

На этом графике выделенная область, площадь под кривой, построенной лагранжианом, — это действие. Площадь под кривой зависит от интересующего интервала (однако для целых чисел, кратных периоду волны, и для бесконечного времени действие будет равно нулю [см. примечание]). Во всяком случае, это должно дать интуитивное представление о действии, а о понятии функционала... площадь под кривой для некоторого интервала есть число, определяемое интегралом от функции:

Когда дело доходит до принципа наименьшего действия (как обсуждалось другими), мы устанавливаем:

Что делается путем рассмотрения эффектов бесконечно малого изменения положения$\epsilon$так что$x$становится$x+\epsilon$(Я отсылаю вас к главе 2 книги Quantum Theory Demystified для хорошего обсуждения этого вопроса).

В любом случае цель состоит в том, чтобы желаемое уравнение (уравнение движения Ньютона, или то, что мне нравится называть уравнением силы) удовлетворяло бы$\delta S = 0$ограничение, которое в этом примере приводит к сохранению значения действия (площади под кривой) постоянным.

Я надеюсь, что это поможет, я отредактирую для большего количества контента, если это необходимо.

[Примечание: я бы добавил, что если кто-то умный, он может сделать полупериод бесконечно длинным, что сделает действие ненулевым в случае SHO]

Действие есть функция верхнего предела интегрирования (если$L(t)$указан), поэтому он растет от нуля, когда$t_2$уходит все дальше и дальше от$t_1$. В этом смысле действие является «мерой изменения».

Но обычно мы не рассчитываем значения действий с решениями , вставленными в$L$. Действие есть функционал возможных траекторий до изменения$q(t)$и$\dot{q} (t)$. Прежде чем варьировать,$q(t)$и$\dot{q} (t)$являются произвольными, а не конкретными решениями уравнений.

Интуитивное понимание действия может быть таким: на реальных траекториях скорость его роста может быть минимальной, но, к сожалению, это не так. Вместо этого у нас есть наименьшее требование к действию:$\delta S = 0$между двумя неподвижными точками.