1+1d TSC как симметрия Zf2Z2fZ_2^f, нарушающая топологический порядок?

Недавно я боролся с комплексной проблемой взаимосвязи между топологическим сверхпроводником и топологическим порядком. Мой вопрос возник после прочтения работы профессора Вэня http://arxiv.org/abs/1412.5985 , а также предыдущего ответа на вопрос . Проявляют ли топологические сверхпроводники топологический порядок, обогащенный симметрией? , в котором комментарий профессора Вэня также много касается моих вопросов, представленных ниже.

Было заявлено, что топологический сверхпроводник 1+1d является случаем 1+1d фермионного топологического порядка (или, более строго говоря, топологического порядка, обогащенного симметрией).

Мое понимание топологического порядка состоит в том, что он характеризуется топологическим вырождением, то есть вырожденными основными состояниями, устойчивыми к любым локальным возмущениям. А в статье 1412.5985 утверждается, что топологический сверхпроводник 1+1d является таким фермионным топологическим порядком с фермионной четностью. Z 2 ф нарушение симметрии. Пока я узнал об одномерном (или, может быть, квазиодномерном, как вам нравится) топологическом сверхпроводнике, первый случай, когда мы обнаружили появление майорановских нулевых мод, это топологический сверхпроводник 1d D-класса. А терминология D-класса определяется классификацией, работающей с классом симметрии BdG гамильтониана. А D-класс означает, что такой сверхпроводник 1d обладает только частично-дырочной симметрией (PHS: Ξ 2 "=" + 1 ), а на основе работ Китаева по K-теории топологический инватиант равен Z 2 . В нетривиальной топологической фазе, помеченной топологическим номером ν "=" − 1 , нулевая мода Майорана появляется на каждом конце топологического сверхпроводника 1d D-класса. И в моем понимании две майорановские нулевые моды образуют двойное вырожденное основное состояние. | 0 ⟩ , | 1 ⟩ с разной фермионной четностью, а в фермионной системе типа сверхпроводника гамильтониан имеет фермионную четность Z 2 ф симметрия, следовательно, фактическая конфигурация основного состояния просто не имеет такой симметрии от гамильтониана и, следовательно, спонтанно нарушает ее.

Однако почему следует утверждать, что такие Z 2 ф нарушение просто напрямую приводит к появлению 1d фермионного топологического порядка в этом 1d топологическом сверхпроводнике? (Относительно первоначальных слов в статье «двойное топологическое вырождение есть не что иное, как двукратное вырождение Z 2 ф нарушение симметрии"). И профессор Вэнь в этом предыдущем опубликованном вопросе также сказал, что этот вид состояния топологического порядка 1d является результатом дальнодействующей запутанности (LRE), поэтому майорановская цепь действительно является LRE, и Китаев только что использовал другую путь без определения локального унитарного преобразования (LU) для описания топологического порядка. Поэтому я хочу спросить, как следует рассматривать такую ​​открытую цепь 1d Майорана как квантовое состояние дальней запутанности? И как насчет описания его с помощью определения LU? Как следует люди должны демонстрировать это?

И последний, но также и самый важный вопрос, который меня весьма смущает, заключается в том, что похоже, что все топологические сверхпроводники 1d, независимо от того, какого класса или какой симметрии они имеют, находятся в состоянии 1d фермионного топологического порядка из-за появления топологического вырождения, которое до сих пор здесь рассматривались майорановские нулевые моды. Ну, по крайней мере, в упомянутой выше статье речь идет о двойном топологическом вырождении. А в топологическом сверхпроводнике 1d класса D он топологически устойчив к какому возмущению? У него вообще нет ни TRS, ни киральной симметрии. Я не знаю, как обсудить влияние разрыва TRS на это двойное вырождение. И хорошо, я предполагаю, что он действительно устойчив к любым локальным возмущениям. Тогда давайте рассмотрим другой случай, топологический сверхпроводник 1d класса DIII с TRS Θ 2 "=" − 1 , и согласно теореме Крамера каждый конец имеет пару обращенных во времени аналогов нулевых мод Майораны, т. е. майорановский дублет, который образует четырехкратное вырождение. После того, как мы введем возмущение, нарушающее TRS, например поле Зеемана, майорановский дублет поднимается и расщепляет конечный энергетический уровень ------- Я прочитал ссылки PhysRevB.88.214514 , а также PhysRevLett.111.056402, и я не знаю, правильно я понял или нет. Итак, в этих работах я нашел слова, утверждающие, что такое четырехкратное вырождение является топологически защищенным TRS. Означает ли это, что этот тип топологического сверхпроводника 1d на самом деле не имеет топологического вырождения с нулевыми майорановскими модами, поскольку он нуждается в защите симметрии и, следовательно, должен принадлежать SPT, а не SET? Если да, то означает ли это, что не все топологические сверхпроводники 1d относятся к топологическому порядку, а только те, у которых есть двукратное вырождение, могут принадлежать к топологическому порядку? Если нет, то где я на самом деле ошибся?

Буду признателен за каждый полезный комментарий и ответ. Спасибо.

Ответы (2)

Так много вопросов! Прежде всего, было бы несколько неверным описывать сверхпроводник Китаева как самопроизвольно ломающийся. Z 2 ф . Фактически, если вы поместите сверхпроводник Китаева в систему без границы (т. е. с периодическими граничными условиями), вырождения в основном состоянии не будет; двукратно вырожденное основное состояние для открытых граничных условий действительно следует рассматривать как граничные моды.

Причина, по которой иногда говорят это, заключается в том, что можно сделать нелокальное преобразование (преобразование Джордана-Вигнера), которое связывает сверхпроводник Китаева с квантовой цепочкой Изинга, которая спонтанно разрывает цепь. Z 2 симметрия. Но параметр порядка для квантовой цепочки Изинга не отображается ни во что локальное в Китаевском сверхпроводнике. Поэтому с концептуальной точки зрения я думаю, что лучше думать о цепочке Китаева как о совершенно новой топологической фазе, а не пытаться понять ее в терминах спонтанного нарушения симметрии.

Как вы видите, что это топологически упорядоченное состояние? Ну, с открытыми граничными условиями у него есть те самые топологически защищенные граничные моды. Вы не можете добавить к гамильтониану локальный член, который пропускает эти граничные моды. На самом деле это не связано с какой-либо симметрией; просто эти два состояния совершенно неразличимы, если вы не посмотрите на систему в целом, чтобы никакое локальное взаимодействие не могло присвоить им разные энергии. Можно переинтерпретировать этот факт в терминах нелокального отображения на квантовую модель Изинга, но это может немного сбить с толку.

Чтобы установить связь с другими определениями топологического порядка, это топологически защищенное вырождение фактически подразумевает, что вы не можете гладко соединить гамильтониан ЧАС К сверхпроводника Китаева к тривиальному сверхпроводнику, ЧАС Т , не закрывая объемный зазор. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся действительно полезным математическим приемом, называемым квазиадиабатическим продолжением [1], который говорит вам, что если ЧАС К и ЧАС Т можно было бы гладко соединить, не закрывая зазор, существовал бы локальный унитарный U связывающие подпространства в основном состоянии ЧАС К и ЧАС Т . Но ЧАС К имеет двукратное вырождение, которое не может быть закрыто локальным возмущением, тогда как ЧАС Т тривиально и, следовательно, существует локальное возмущение час что снимает вырождение. Но потом U час U † является локальным возмущением, снимающим вырождение ЧАС К что является противоречием.

Что касается вашего последнего вопроса, то сверхпроводник Китаева в 1-D (D-класс) защищен без требования какой-либо симметрии. С другой стороны, класс DIII требует симметрии обращения времени. Если пренебречь симметрией, сверхпроводник класса DIII на самом деле выглядит как две копии сверхпроводника Китаева, что должно быть тривиально (поскольку класс D имеет Z 2 классификация). Другими словами, на самом деле на краю есть две майорановские нулевые моды, что эквивалентно обычному комплексному фермиону и может быть пропущено. Но член, выходящий за край, не допускается симметрией обращения времени. Таким образом, сверхпроводник класса D топологически упорядочен, сверхпроводник класса DIII — это только СПД.

[1] https://arxiv.org/abs/1008.5137

Отличный ответ! Соответственно, я был немного озадачен тем, что Вен назвал цепь Китаева примером спонтанного нарушения симметрии: действительно, как вы предлагаете, один из способов интерпретации этого утверждения - это утверждение о двойной спиновой цепи Джордана-Вигнера. Однако мне кажется, что Вэнь на самом деле говорит о самой фермионной цепочке, тогда как я согласен с вами в том, что в этом случае на самом деле нет спонтанного нарушения симметрии (т.е. основное физическое состояние все еще симметрично относительно фермионной четности).п ). [продолжение]
Пытаясь понять утверждение Вэня, я подозреваю следующее: глядя на спиновые цепочки, Вэнь приравнивает спонтанное нарушение симметрии к дальнодействующей запутанности в (точных) собственных состояниях энергии. Это действительно правильно для спиновых цепочек, например, принимая модель Изинга, мы знаем, что (точные) основные состояния имеют вид| раскручивается ⟩± | вращается вниз ⟩ . Это означает, что если во Вселенной есть один -единственный спин, который соединяется с одним спином нашей системы, наше основное состояние декогерентизируется во все остальные.| раскручивается ⟩ или| вращается вниз ⟩ [продолжение]
т.е. любое основное физическое состояние спонтанно нарушило бы симметрию. В общем: для спиновых цепей дальняя запутанность подразумевает спонтанное нарушение симметрии. Для цепи Китаева дело обстоит иначе: аналогично основные состояния|Нф нечетное ⟩± |Нф даже ⟩ (сНф количество фермионов) имеют дальнодействующую запутанность, но на этот раз невозможно записать какой-либо локальный оператор, который мог бы декогерентизировать эту суперпозицию, и поэтому дальнодействующая запутанность кажется стабильной и поэтому не подразумевает спонтанного нарушения симметрии. Интересно, кто-то не согласен с этим?
Привет, спасибо за ваш ответ, Эльза, а также спасибо за комментарии @Ruben Verresen. Во-первых, я хотел бы отметить, что обычно, как мы знаем, в сверхпроводниковой системе есть SSB отU( 1 ) →Z2 с определенной конфигурацией основного состояния, однако нормальный сверхпроводник сохраняет фермионную четностьZф2 потому что основные состояния - это просто конденсат куперовских пар, и он допускает различные конфигурации заполнения числа фермионов без изменения общей фермионной четности.
Однако здесь мы обсуждаем на открытом отрезке линии 1d бесспиновый p-волновой сверхпроводник (хорошо в экспериментальной реализации всегда добавляется сильное зеемановское поле, чтобы получить полностью поляризованные электроны, и в низкоэффективном масштабе мы рассматриваем их как бесспиновые электроны), Майорановский нулевые моды существуют на двух концах, форма двойного вырождения действительно приводит к тому, что предыдущие основные состояния нормального сверхпроводника становятся двумя вырожденными секторами, которые различаются своей четностью:| ГС⟩даже= | 0⟩ф∏Н− 1Дж| 0⟩Дж ,| ГС⟩странный= | 1⟩ф∏Н− 1Дж| 0⟩Дж .
И эти два основных состояния конфигурации занятости на самом деле иногда возникают по отдельности, и это много значит для эксперимента по обнаружению с дробным эффектом Джозефсона. Вот почему Сяо-Ган Вэнь в своей статье утверждает, что топологический сверхпроводник 1d самопроизвольно разрывается.Zф2 .
Говоря о квантовой модели критического поперечного поля Изинга с параметрамиДж, В → 0 , после применения преобразования Джордана-Вигнера он точно отображается в нетривиальную фазу одномерного p-сверхпроводника с параметромт = Δ , мк → 0 . И явный TFIM конечного размера действительно обладает конфигурацией состояния тыквы суперпозиции.12√( | ↑ ↑ ↑ ↑ ⋯ ⟩ ± | ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯ ⟩ ) без нарушенияZ2 симметрии, то же самое делает сверхпроводник 1d p-волны:я εγ1γ2 ,ε ∼е− L / ξ .
Однако, когда размерл достаточно велико, то в процессе приближения к критической точкеБ → 0 , две конфигурации| ↑ ↑ ↑ ↑ ⋯⟩ и| ↓ ↓ ↓ ↓ ⋯⟩ станет почти вырожденным, точно так же, как энергия перекрытия связанных состояний Майорана станет достаточно малой и сформирует почти двукратное вырождение.
В таком случае у нас будет включен SSB.Z2 и все наши рассуждения основаны на знании этого физического смысла. Поскольку мы всегда имеем дело с конечным размером, однако относительно большой квантовой системой многих тел в реальном мире. (Можно обратиться к связанному вопросу physics.stackexchange.com/questions/29311/… )
И точно так же, как основные состояния двух спиновых конфигураций вверх и вниз, связанные с доменной стенкой с переворотом спина (перевернутой операторомоИкс ), топологическая тривиальная и нетривиальная фазы 1d p-сверхпроводника также связаны с доменными стенками, которые проявляются как связанные майорановские состояния (или -нулевые моды).
Однако я думаю, что эти вещи имеют мало общего с моими загадками, что на самом деле меня беспокоит, так это то, почему 1d p-волновой сверхпроводник или цепочка Китаева Майорана, т.е. 1d сверхпроводник D-класса, могут быть классифицированы как 1d фермионный топологический порядок. Один из аспектов, о котором говорят люди, состоит в том, что возникает топологически защищенное вырождение. Однако мне очень хотелось бы знать, как такое квантовое состояние из цепочки Мьорана можно рассматривать и демонстрировать как квантовое состояние дальней запутанности.
С другой стороны, профессор Сяо-Ган Вэнь утверждает, что нарушение симметрии не противоречит топологическому порядку. Таким образом, одна квантовая система может иметь как SSB, так и топологический порядок (этот аргумент можно найти в его работе о топологическом порядке journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.82.155138 ). Для фермионного случая 1 + 1d он считается топологическим сверхпроводником. Так что мне кажется, что все топологические сверхпроводники в 1d находятся в топологическом упорядоченном состоянии. Это приводит к моему последнему вопросу.
@TomGao Конечно, вопрос о том, является ли цепь Китаева SSB, является своего рода семантикой. Лично я бы никогда не сказал, что система демонстрирует SSB, если только не существует локального параметра порядка, которого нет в цепочке Китаева.
Но что касается того, почему сверхпроводник класса D является «запутанным на дальнем расстоянии», если вы последуете за Веном и определите «запутанный на дальнем расстоянии» как означающий «не может быть связан с тривиальным состоянием с помощью локального унитарного», то аргумент, который я привел выше, показывает что это действительно верно для цепи Китаева. Или вы имели в виду другое определение? И, как показывает пример класса DIII, утверждение о том, что все топологические сверхпроводники «топологически упорядочены», совершенно неверно .
@Dominic Else Я понимаю, что вы имеете в виду, говоря, что без параметра локального заказа не говоря о SSB. Я думаю, что вы хотите заявить о фазе нарушения симметрии Ландау, которая отвечает за SSB и всегда накладывает локальный параметр. Я бы полностью согласился с этой точкой зрения. Однако в топологическом упорядоченном состоянии работа профессора Вена доказывает, что SSB также может встречаться с топологическим порядком. Я должен сказать, что речь идет о значении SSB, с моей точки зрения, SSB — это всего лишь один из видов нарушения симметрии, который сам по себе не является фазой или упорядоченным состоянием.
Что касается аспекта топологического порядка, который вы упомянули, я думаю, что согласен, и я вообще не имею в виду никакого другого определения. Как вы сказали, в цепочке Китаева эти вырожденные основные состояния (нулевые моды Майораны) нелокальны и не могут быть отображены в тривиальное сверхпроводящее основное состояние никаким локально-унитарным преобразованием. Хорошо, я думаю, что этот ответ решает один из моих вопросов. Спасибо :)

Ключевой вопрос здесь заключается в том, как определить/описать 1+1D фермионный топологический порядок (т.е. только с симметрией фермионного числа и четности). Z 2 ф ) для взаимодействующей системы? Подход Китаева неприменим, поскольку он предназначен только для невзаимодействующей системы. Другими словами, мы любим спрашивать: «Учитывая основное состояние сильно взаимодействующей 1+1D фермионной системы, как мы узнаем, что она топологически упорядочена или тривиально упорядочена?»

Существует много дискуссий о цепи Майорана и топологическом сверхпроводнике, но многие из них касаются только невзаимодействующих систем. Ключевой вопрос здесь заключается в том, как определить/описать эти концепции для сильно взаимодействующих фермионных систем?

Многие описания в вопросе основаны на изображении невзаимодействующих фермионов, в то время как наша статья о цепочке 1D предназначена для сильно взаимодействующих фермионных систем. Использование изображения невзаимодействующих фермионов для просмотра нашей одномерной цепной бумаги может привести к большой путанице. Обратите внимание, что в сильно взаимодействующих фермионных системах нет даже одночастичных уровней энергии, а в сильно взаимодействующих фермионных системах нет майорановских нулевых мод . Как в таком случае понимать одномерный топологический сверхпроводник?

На этом фоне мы пытаемся подчеркнуть в нашей цепочке 1D то, что:

1) сильно взаимодействующая фермионная цепочка, имеющая только Z 2 ф симметрия может иметь состояние с щелью, которое соответствует состоянию спонтанного нарушения симметрии Z 2 ф .

2) Такое состояние с нарушением симметрии является 1+1D фермионным топологически упорядоченным состоянием (т.е. находится в той же фазе, что и 1D p-волновой топологический сверхпроводник).

Другими словами, 1+1D фермионное топологически упорядоченное состояние на цепочке можно формально рассматривать как SSB-состояние Z 2 ф (после бозонизации фермиона с помощью преобразования Джордана-Вигнера). В отличие от многих других картинок, эта картина работает для взаимодействующих систем.

Также топологический порядок определяется как эквивалентный класс локальных унитарных преобразований. Неправильно говорить, что топологический порядок характеризуется топологическим вырождением, поскольку существуют топологические порядки (т.е. обратимые топологические порядки), которые не характеризуются топологическим вырождением.

Уважаемый профессор Вен, почему вы говорите, что в сильно взаимодействующей системе нет майорановских нулевых мод? Я полагаю, что даже в случае сильного взаимодействия все еще существует оператор, удовлетворяющий алгебре Майорана, локализованный вблизи границы и коммутирующий с проектором основного состояния, не так ли?
Нулевая мода Майорана — это уровень энергии одной частицы при нулевой энергии в сверхпроводнике. Такая концепция только для невзаимодействующих фермионов. Для сильно взаимодействующих фермионов соответствующим понятием является топологическое вырождение. Всегда есть операторы, связывающие вырожденные состояния. Существуют топологические вырождения, не соответствующие нулевой моде Майораны во взаимодействующих системах.
Большое спасибо профессору Вену за этот подробный ответ и еще один быстрый вопрос ниже.
Сравнивая ваше разъяснение по предыдущему вопросу о (1+1)D TSC как топологически упорядоченной фазе с обогащенной симметрией и здесь, могу ли я выразить это так: цепь Китеава характеризуется не-LU-преобразованием, демонстрирующим топологическое двойное вырождение , которые являются неабелевыми анионами, и поэтому это случай топологического упорядоченного состояния в (1+1)D невзаимодействующей фермионной системе. Однако после добавления некоторой sysmetry, такой как DIII-TSC, которую я упомянул, ее можно рассматривать как состояние SET в (1+1)D, поскольку известно, что если мы нарушаем TR-симметрию, она распадается на две копии Китеевские цепи.
1+1d TSC как симметрия Zf2Z2fZ_2^f, нарушающая топологический порядок?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v