Алгебра Каца-Муди, доказательство вычисления параметров

Я следую заметкам «Гинспарг - Прикладная конформная теория поля» ( https://arxiv.org/abs/hep-th/9108028 ) и застрял на доказательстве на странице 140 об алгебрах Каца-Муди. Я хотел бы доказать, что$\beta = 2\tilde{k} +C_A$используя данное определение тензора энергии-импульса

$$T(z) = \frac{1}{\beta}\lim_{z\to z'} \left\{ \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-z')^2} \right\}$$ и расширение продукта оператора (OPE) двух сохраняемых токов $$J^a(z) J^b(w) = \frac{\tilde{k} \delta^{ab}}{(z-w)^2}+\frac{i f^{abc} J^c(w)}{(z-w)}.$$

Я следую этому пути: начиная с

$$T(z) J^b(w) = \frac{1}{\beta}\left\{\lim_{z\to z'} \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') J^b(w) - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-w)^2}J^b(w) \right\}.$$ Я хочу продемонстрировать, что это равно OPE тензора энергии-импульса с первичным полем $$T(z) J^b(w) = \frac{J^a(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial J^b(w)}{(z-w)}$$ если и только если$\beta = 2\tilde{k} +C_A$, используя квадратичное собственное значение Казимира в присоединенном представлении$f^{abc} f^{acd} = \delta^{bd} C_A$.

Может ли кто-нибудь объяснить мне все отрывки?