Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1

Ваши уравнения движения неверны. Чтобы понять почему, рассмотрим случай на этой картинке:

Какие$x$и$y$компоненты силы$\mathbf F$действует на массу?

Если длина покоя пружины$l_0$а его упругая постоянная$k$, сила$\mathbf F$является

где$\hat r$действует в направлении красной стрелки, т.е.$\hat r = (-\cos \theta, -\sin \theta)$. $x$и$y$поэтому компоненты

где

Если бы мы следовали методу, подобному вашему, мы бы получили

что неправильно и соответствует случаю двух независимых пружин с одинаковыми константами, действующими на массу.

Возьмем случай с двумя одинаковыми пружинами:

Основываясь на предыдущем анализе, вы можете легко увидеть, что

где$\hat r_1 = (-\cos \theta_1, -\sin \theta_1)$и$\hat r_2 = (\cos \theta_2, -\sin \theta_2)$. Отсюда следует, что$x,y$компоненты

где

Поэтому уравнения движения достаточно сложны для точного решения. Если вы умеете кодить, я бы предложил решить их каким-нибудь интегратором вроде Velocity Verlet .

Расчет жесткости в$y$направление неверное. Жесткость в$y$-направление не зависит от жесткости пружины$k$, а только от силы натяжения$T$в пружинах и длина пружин в состоянии покоя (прикрепленная к массе).

Жесткость в$y$- направление задается:

Обычно фазового сдвига нет, потому что частоты в$x$и$y$направления разные. Они могут совпадать только для определенных значений$k$, длина$L$весны и$T$. Если они совпадают, сдвиг можно определить с помощью начальных условий, как это сделали вы.

Если пружины натянуты$T$в состоянии равновесия, а амплитуды малы, то восстанавливающие силы равны$F_x \approx -2kx$и$F_y \approx -2\frac{T}{L}y$, где$L$— длина пружины в растянутом состоянии, как описано в разделе Пояснение поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами . Если естественная длина пружин$L_0$затем$T=k(L-L_0)$так$F_y \approx -2k(1-\frac{L_0}{L})$. Колебания в$x$и$y$направления ок. линейны и независимы, поэтому они являются простыми гармониками, но частоты отличаются соотношением$f_y/f_x \approx \sqrt{1-\frac{L_0}{L}}$.

Эта разница в частоте означает, что разность фаз между$x$и$y$колебания постепенно усиливаются. Движение не похоже ни на один из ваших графиков, которые показывают постоянную разницу фаз. Вместо этого движение переходит от линейных колебаний, как на графике 1, к эллиптическим колебаниям на графике 2, которые становятся круговыми. Затем он снова становится эллиптическим, но на этот раз линия (= ось эллипса) отражается на оси y. После того, как снова станет линейным, направление колебаний меняется на противоположное, и цикл начинается снова. Это движение иллюстрируется анимацией в статье «Почему вибрация в моем проводе ведет себя так странно? » и можно увидеть в вашем видео также.

Используя предоставленные вами данные$(L_0=13cm, L=25cm)$, затем$1-\frac{L_0}{L} \approx 0.48$. Поэтому частоты должны быть в соотношении$f_y/f_x \approx 0.69$. Из 2-х прогонов в 1-й половине вашего видео примерно за 8 секунд 11 циклов$x$колебаний и 7 циклов$y$колебание, поэтому$f_y/f_x = 7/11\approx 0.64$, что достаточно близко к предсказанию.

Однако$x$и$y$колебания не кажутся независимыми друг от друга. Во 2-х работает во 2-й половине видео, в котором$x$и$y$движения происходят одновременно, отношение$f_y/f_x$составляет ок.$8/9$вместо$7/11$когда эти движения раздельны. Разница в частоте значительно меньше, и каждый сдвинулся навстречу другому. Этому есть две причины: (i) малоамплитудное приближение не выполняется, поэтому$F_x, F_y$каждый зависит от$x$и$y$- т.е. они связаны; (ii) энергия также передается через трение или гистерезис. (Для примера фрикционной связи двух независимых движений см. Вращательная физика игральной карты ).

Не очевидно, как$\pi/2$может возникнуть разность фаз, предложенная вашим учителем. Если бы одно колебание приводило в действие другое, оно опережало бы$\pi/2$. Это могло бы произойти, если бы были две связанные массы, одна из которых была бы намного тяжелее другой. Но здесь массы те же.

Из видео,$f_x \approx 11/8 \approx 1.4Hz$. Судя по вашим измерениям, если предположить, что$k$относится к одной из двух пружин, то$f_x \approx \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2 \times 60,000}{570}} \approx 2.3 Hz$. Возможно, ваша стоимость$k$не является правильным?

Уравнение, которое вы вывели для$F_y$применяется только тогда, когда$L \gg L_0$. Затем$f_y/f_x \approx 1$поэтому разность фаз остается прибл. постоянный. Если вы запускаете систему из состояния покоя, разность фаз равна нулю (график 1), потому что обе$x$и$y$начните с максимального смещения, чтобы они имели одинаковую фазу. Амплитуды не обязательно должны быть одинаковыми, потому что частота не зависит от амплитуды. Чтобы иметь постоянную разность фаз, как на графике 2, вы можете переместить массу в$x$или$y$направлении, когда вы отпустите его.

Если амплитуда колебаний становится «большой», то$x$и$y$колебания становятся нелинейными и связанными. Если натяжение пружин в состоянии равновесия очень мало или отсутствует, то поперечные колебания даже при малых амплитудах будут нелинейными, а восстанавливающая сила будет пропорциональна$y^3$.