Как доказать эквивалентность РГ-потока константы связи КТП и диаграммного пересуммирования при фиксированном масштабе перенормировки?

Это не «диаграммное» доказательство, но вы можете видеть, что на самом деле это приближение «ведущего журнала», глядя на то, что вы получаете, когда решаете уравнение Каллана-Симанзика с помощью бета-функции первого цикла. Скажем, у меня есть некоторая корреляционная функция$\mathcal{G}(\lambda,\ell)$которая является функцией некоторой маргинальной связи$\lambda$а также$\ell \equiv \log \Lambda$лог шкалы энергии. Произнесите первую петлю$\beta$функция для$\lambda$похоже

$\beta(\lambda) = b\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$

для некоторой константы$b$. Так же, как скаляр$\phi^4$в$d=4$.

Уравнение CS выглядит так

$\left(\frac{\partial}{\partial\ell} - \beta(\lambda)\frac{\partial}{\partial\lambda}\right)\mathcal{G}(\lambda,\ell) = 0$

Решение этого уравнения с низшим порядком$\beta$функция дает вам$\mathcal{G}$в пределе$\lambda \rightarrow 0$но$\lambda\ell$исправлено. Следовательно, это сумма членов, ведущих в$\ell$на каждый заказ$\lambda$. Вы можете увидеть это, переписав$\mathcal{G}$следующим образом:

$\mathcal{G}(\lambda,\ell) = \lambda\mathcal{G}^{(1)}(\lambda\ell) +\lambda^2\mathcal{G}^{(2)}(\lambda\ell) + \lambda^3\mathcal{G}^{(3)}(\lambda\ell) +\,\,...$

где$\mathcal{G}^{(i)}$некоторые неизвестные функции одной переменной. Вы можете сделать это, поскольку существует максимальный уровень расхождения для каждого порядка теории возмущений. Если вы подключите это к уравнению CS и будете следить за порядком членов, которые вы видите, вы получите хорошее дифференциальное уравнение для$\mathcal{G}^{(1)}$, но не для любого из терминов более высокого порядка. Если вы перешли к следующему заказу в$\lambda$в$\beta$функция, которая даст вам хорошее уравнение для$\mathcal{G}^{(2)}$которая является следующей за наиболее расходящимися диаграммами из всех порядков теории возмущений. Таким образом, процедура РГ преобразует предел$\lambda\rightarrow 0$,$\ell$фиксированный, который вы получаете из стандартной теории возмущений, в пределе$\lambda\rightarrow 0$,$\lambda\cdot\ell$фиксированный, что часто более полезно.

Если решить уравнение во втором порядке, то получится:

$g=\frac{g_0}{1-a g_0 log\lambda}=g_0 +\sum_n g_0^{n+1}a^nlog^n \lambda$

вторая часть - это вклад степеней первой петлевой диаграммы, например, попробуйте сначала записать g в 1-петле, а затем просуммировать все степени диаграммы первого порядка.