Это не "безвкусица", это неисчислимо до бессмысленности.

Весь смысл размерного анализа в том, что есть некоторые величины, несопоставимые между собой: нельзя решить, больше или меньше один метр десяти ампер, а попытка прибавить к десяти кельвинам пять вольт даст только неработоспособную чепуху. . (Подробнее о том, почему, см. «Что оправдывает многомерный анализ? » и его многочисленные связанные дубликаты на боковой панели справа.)

Это именно то, что происходит, скажем, с экспоненциальной функцией: если вам нужна экспонента одного метра, то вам нужно уметь понимать

$$\exp(1\:\rm m) = 1 + (1\:\rm m) + \frac12(1\:\rm m)^2 + \frac{1}{3!}(1\:\rm m)^3 + \cdots,$$ и это требует, чтобы вы могли складывать и сравнивать длины с площадями, объемами и другими степенями положения. Вы можете попытаться просто обрезать единицы измерения и разобраться с этим, но имейте в виду, что они должны точно совпадать с эквивалентом $$\exp(100\:\rm cm) = 1 + (100\:\rm cm) + \frac12(100\:\rm cm)^2 + \frac{1}{3!}(100\:\rm cm)^3 + \cdots,$$ и просто нет инвариантного способа сделать это.

Теперь, чтобы внести ясность, проблема намного глубже: реальная проблема с$\exp(1\:\rm m)$заключается в том, что просто нет осмысленного способа определить его таким образом, чтобы (i) он был независим от системы единиц и (ii) сохранял набор свойств, которые действительно заслужили бы ему имя экспоненты. Если то, что вам нужно, — это простой и четкий способ увидеть это, то хороший угол — это отметить, что если бы кто-то определил$\exp(x)$за$x$с нетривиальной размерностью, то среди прочего вы бы попросили его подчиняться свойству

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\exp(x)=\exp(x),$$ что размерно несовместимо, если $x$(и поэтому $\mathrm d/\mathrm dx$) не является безразмерным.

В комментариях и даже в опубликованной статье также было отмечено , что вы действительно можете иметь ряды Тейлора по размерным величинам, просто установив$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \frac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n}(0)x^n$, и это достаточно верно. Однако для трансцендентных функций нам не нужны какие-либо старые ряды Тейлора, нам нужны канонические: они часто являются определением функций для начала, и если бы кто-то предложил определение, скажем,$\sin(x)$для габаритных$x$, то, если он не может быть связан с каноническим сериалом Тейлора, он просто не стоит своего названия. И, как объяснялось выше, у канонических рядов Тейлора есть фундаментальные проблемы масштабирования, из-за которых они остаются безнадежными.

---

Тем не менее, для логарифмов в некоторых очень специфических случаях можно говорить о логарифме размерной величины.$q$, но там вы по сути берете какого-то представителя$q_0$и расчет

$$\log(q/q_0)=\log(q)-\log(q_0),$$ где для понимания последнего требуется , чтобы два числовых значения были в одних и тех же единицах измерения ─ в этом случае окончательный ответ не зависит от самой единицы измерения. Если ситуация также позволяет вам отказаться от аддитивных констант или включить их во что-то еще (например, при решении ОДУ, где репрезентативным случаем является электростатический потенциал бесконечного линейного заряда , или при построении графиков в логарифмическом масштабе), тогда вы могли бы избавиться от $\log(q_0)$в понимании того, что это выйдет из-под контроля, когда вы вернетесь, чтобы расставить все точки над i.

Однако то, что это можно сделать в конкретном случае логарифма, который уникален тем, что превращает мультипликативные константы в аддитивные, не означает, что вы можете использовать его в других контекстах ─ и вы не можете.

Православный взгляд

Немного формального взгляда на это:$\exp x$можно представить в виде ряда:

$$\exp x=1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$

Так что если$x$имеет единицу$X$, то члены этого ряда имеют соответствующие единицы

$$\text{None}, X, X^2, X^3, \cdots X^n, \cdots$$

что не соответствует размерам. Тот же аргумент для$\ln$или для любой аналитической функции (т. е. функции, которую можно разложить в такой ряд). Это применимо и к чему-то столь же простому, как

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$

Собственно, и не нужна вся серия. Всего двух членов разложения Тейлора достаточно, чтобы переменная стала безразмерной. Например, если функция$f(x)$идет как

$$f(x) = x - x^2 + O(x^3),$$

в качестве$x$переходит в 0, например, тогда$x$не может иметь размер$X$, иначе можно было бы добавить$X$а также$X^2$. Это относится, конечно, и к асимптотическим рядам, например

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right),$$

в качестве$x\to+\infty$.

Игра вокруг православия

А как насчет следующего аргумента. Я возьму очень простой пример, в котором вообще нет серий,

$$f(x) = x + x^2.$$

Приведенный выше ортодоксальный аргумент подразумевает, что$x$должно быть безразмерным. Но я собираюсь утверждать, что коэффициенты 1$x$а также$x^2$на самом деле имеют измерение$X^{-1}Y$а также$X^{-2}Y$, куда$X$является единицей$x$, а также$Y$затем станет единицей$f(x)$. Это делает все последовательным, не так ли? Да, но это пародия, потому что это означает, что вместо$f(x)$мы действительно имеем дело с

$$f_\text{pseudo}(x) = a\left(\frac{x}{x_0}+\left(\frac{x}{x_0}\right)^2\right),$$

куда$x_0$имеет единицу$X$а также$a$имеет единицу$Y$, то есть

$$f_\text{pseudo}(x) = af\left(\frac{x}{x_0}\right).$$

И вот он: аргумент$f$действительно безразмерный! Аргумент обобщается на любой ряд. Давайте посмотрим на экспоненту в качестве иллюстрации:

$$\exp x = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}x^n.$$

Таким образом, аргумент будет заключаться в том, что$1/n!$имеет единицу$X^{-n}$фактически. Справедливо, но тогда вместо$\exp$, значит имеем дело с

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{x_0}\right)^n,$$

куда$x_0$имеет размерность$X$, и где сейчас$1/n!$безразмерна, и, как указано выше$a$имеет некоторую размерность$Y$. То есть, что

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\exp\frac{x}{x_0}.$$

Таким образом, мы приходим к аргументу$\exp$будучи безразмерным.

Мое интуитивное мнение об этой маленькой игре: ну, да! Все это ради этого, правда? Более того, как указал Эмилио Писанти в комментариях, это требует, чтобы мы сорвали шкалу$x_0$(и еще один масштаб$a$потенциально) с неба: весь смысл размерного анализа в том, что мы заранее учли все возможные размерные величины. Здесь мы вводим еще один постфактум, и это не имеет смысла ни для Эмилио, ни для меня.

Причина, по которой ваш инструктор назвал это «дурным тоном», а не просто неправильным, заключается в том, что люди будут делать это все время с логарифмом. Логарифм уникален, потому что он позволяет разделить мультипликативные множители на аддитивные члены, поэтому люди будут писать что-то вроде

$$\log(r/r_0) = \log(r) - \log(r_0) = \log(r) + C.$$ Наиболее распространенный способ сделать это случайно - через интеграл, $$\int \frac{\mathrm dr}{r} "=" \log r + C.$$ Это технически неправильно, но почти все так пишут. В конце концов, вы всегда можете объединить константы обратно в логарифм, чтобы аргументы имели правильные размеры.

Другие ответы верны: когда вы думаете об этом с точки зрения анализа единиц, вы не можете добавлять количества, которые имеют разные единицы друг к другу. Тем не менее, формально вы всегда можете сделать что-то вроде

$$f\left(\frac{x}{1\operatorname{m}}\right)$$ чтобы получить что-то, что работает, математически.

Где это становится дурным тоном/плохой практикой, так это то, что вы сами ввели этот знаменатель вручную. В любой физической задаче, требующей вычисления какой-либо сложной функции, например$\sin$,$\ln$, или же$\exp$, всегда будет какая-то физически релевантная величина с теми же единицами измерения, которая позволит вам сформировать безразмерную величину. Например, при работе с простым гармоническим генератором мы можем комбинировать постоянную пружины,$k$, а масса,$m$, чтобы произвести количество с единицами обратного времени,$\omega \equiv \sqrt{k/m}$. Это то, что$\omega$что позволяет нам разумно писать$x=A\sin(\omega t)$для описания движения осциллятора.

Я намеренно создал что-то вроде этого:

f фунты = мост мВ / 2 ^{x log ₂ мВ / фунты}

Да, это работает. 2 — это, очевидно, безразмерная константа*, так что единица действительно должна равняться х.

Это своего рода дурной тон, поскольку действительно небольшие изменения в x соответствуют действительно большим изменениям в результате, иначе трудно понять, что будут делать числа.

* Когда формула представлена ​​в исходной форме, 2 не существует; он появляется только при перезаписи его в стандартной форме.

Я смотрю на то, что большинство единиц действуют как мультипликативные неизвестные. То есть мы можем представить, что существует (возможно, неизвестная) естественная единица для количества, и эта единица является (возможно, неизвестной) масштабным коэффициентом, который преобразует нашу человеческую единицу в естественную единицу. Чтобы составить непротиворечивую формулу, мы хотим, чтобы все эти неизвестные уравнялись. Физики считают единицы, которые не действуют как мультипликативные неизвестные (например, Цельсий и Фаренгейт), дурным тоном.

Таким образом, возникает вопрос, что разные функции делают с мультипликативным неизвестным. Рассмотрим простую функцию возведения числа в степень.

$F(x) = x^n -> F(xu) = F(x)F(u)$

Отлично, у нас была хорошая вкусовая единица, и хорошая вкусовая единица вышла.

Теперь давайте посмотрим на логарифм.

$F(x) = log_n(x) -> F(xu) = F(x) + F(u)$

Этот результат не является «единицей хорошего вкуса», так как это аддитивное неизвестное, а не мультипликативное неизвестное, но с ним не страшно работать. Во многих случаях мы можем отменить F(u) и прийти к непротиворечивой формуле. Действительно, инженеры часто используют логарифм таким образом.

Теперь давайте посмотрим на экспоненту.

$F(x) = n^x -> F(xu) = (F(x))^u$

ick, я думаю, в некоторых случаях можно отменить силу, но с этим довольно ужасно иметь дело.