Является ли число 1 единицей?

Это аналогично определению пустого произведения в математике. Для конечного непустого множества$S=\{s_1,\ldots,s_n\}$, продукт закончился$S$можно определить как

$$\prod_{s\in S}s=s_1\times \cdots\times s_n.$$ Для такого продукта вы бы хотели, чтобы непересекающиеся союзы отображались в продукты: если $R\cap S=\emptyset$, тогда вы хотите $\prod_{x\in R\cup S}x=\left(\prod_{s\in S}s\right) \times \left(\prod_{r\in R}r\right)$, но для того, чтобы это имело смысл, вы хотите иметь возможность обрабатывать пустой набор, и единственный способ сделать правила согласованными — установить $$\prod_{s\in\emptyset}s=1.$$ Это по существу говорит: если не на что умножать, результат один . (Точно так же пустые суммы определяются как нулевые по той же причине.) В данном случае вы могли бы просто сказать , что если нет единиц для умножения, то вы получите единицу . Как указывает Любош, это единственный безопасный последовательный выбор, поскольку умножение на единицу не меняет количество.

Более того, эта интуиция о пустом продукте может быть доведена до полной формализации физических размеров и единиц в виде векторного пространства. Все работает в этом моем ответе , но основная идея заключается в том, что положительные физические величины образуют векторное пространство над рациональными числами, где «сложение» — это умножение двух величин, а «скалярное умножение» — это возведение количества в рациональную степень. Именно этот формализм векторного пространства является причиной того, что анализ размерностей часто сводится к набору линейных уравнений. Более того, в этом векторном пространстве «нуль» является физической величиной и единицей$1$- ни одно векторное пространство не имеет смысла, если$1$является и количеством, и единицей.

В конечном счете, конечно, все сводится к соглашению, поэтому люди могут просто сказать: «Я собираюсь сделать это по-другому», и они не будут «неправильными» как таковые. Однако, в общем, последовательный способ присваивать вещи состоит в том, чтобы сказать, что безразмерные величины имеют размерность.$1$(по модулю любого соглашения о квадратных скобках , которое вы используете) и unit$1$.

Чтобы немного поддержать это, для тех, кто заботится об организационном руководстве, BIPM публикует Международный словарь метрологии , в котором говорится (§1.8, примечание 1), что

Термин «безразмерная величина» обычно используется и сохранен здесь по историческим причинам. Это связано с тем, что в символическом представлении размерности таких величин все показатели равны нулю. Термин «количество размерности один» отражает соглашение, согласно которому символическим представлением размерности таких величин является символ 1 (см. ИСО 31-0:1992, 2.2.6).

По сути, это то же самое в документе ISO, который был заменен ISO 80000-3: 2009 (с платным доступом, но доступен бесплатный предварительный просмотр), который имеет практически идентичную запись в §3.8.

---

Наконец, как ответ на некоторые комментарии Любоша Мотла, это относится к термину «физическое измерение», как его понимает большинство ученых-физиков.

Существует также альтернативное соглашение, используемое в высокоэнергетических контекстах, когда вы работаете в естественных единицах с$\hbar=c=1$, в котором у вас остается одно нетривиальное измерение, обычно принимаемое за массу (= энергию). В этом контексте обычно говорят, что количество или оператор имеет «размерность».$N$" означает, что он имеет размерность массы$N$т.е. имеет физическое измерение$m^N$, но поскольку в качестве базовой величины всегда используется только масса, она часто отбрасывается. Однако это очень краеугольный случай по отношению к остальной физической науке, и теоретики высоких энергий ошибаются, если забывают, что их «размерность$N$«работает только в натуральных единицах, которые бесполезны за пределами своего небольшого домена.

Число$1$может быть лингвистически описан как «единство». Именно это число является первоисточником различных слов в терминологии, таких как «единичная матрица» (матрица, ведущая себя как число$1$).

Принято записывать, что безразмерные величины, такие как число Маха, имеют единицы измерения.$1$потому что умножение на$1$ничего не меняет в результате - это аналог умножения на другую единицу, например${\rm m/s}$.

Просто выглядит более связно, чтобы написать единицу$1$в столы. Но на словах можно также сказать, что величины с «этой единицей» вообще не имеют единиц. Они безразмерны. До тех пор, пока вы понимаете логику, нет проблем в следовании этим несколько противоречивым соглашениям, в которых мы иногда называем единицы$1$а иногда мы говорим, что единиц нет.

В таблицах графа «единица измерения» означает «отношение полной величины к ее числовому значению». С этим определением результат может быть рассчитан как$1$без проблем. Это похоже на задачу расчета дефицита бюджета как разницы доходов и расходов. Если последние два равны, разница просто$0$. Можно написать$0$хотя он мог бы также написать это как$-$и сказать, что разницы "не существует". Числа$0$и$1$играют роль «нейтральных объектов» для сложения и умножения соответственно.

DIN EN ISO 80000-1:2012-10 на с. 26

Глава 6.5.5: Первый блок

В моем переводе с немецкого:

Согласованной единицей СИ для каждого значения размерного числа является единица, символ 1. Эта единица, вообще говоря, не пишется, если такое значение задается ее номером. Например количество витков в катушке$N = 25 \cdot 1 = 25$

Переведено и обобщено мной:

Специальные наименования [я думаю, что это будет рад, градус, ...] для единицы можно комбинировать с префиксами СИ. Символы % и pro-mil являются частью когерентной единицы. Сам символ единицы 1 не следует сочетать с префиксами, а затем записывать как степень числа 10.

Стандарт рекомендует не использовать слово «безразмерный» или «размерность 1», а использовать «размерное число». Остальные определения «устарели». В качестве примера дано количество вещества 5 ммоль/моль, где значение 5, единица 1 и размерность число 0,001.

Если$6$и$7$у каждого есть единицы$1$, и если этот блок ведет себя как другие блоки, то$6\times 7=42$были бы единицы$1^2$. Мой рост измеряется в метрах, но половина моего роста в$\mathrm{m}1^{-1}$. Если вы умножите это на два, вы вернете мой рост в метрах, но если вы прибавите его к себе, вы получите величину, численно равную моему росту, но имеющую единицы измерения.$\mathrm{m}1^{-1}$.

Я думаю, что было бы довольно трудно сделать это последовательным, поэтому мы должны заключить, что если$1$является единицей, она ведет себя несколько иначе, чем другие единицы. А если это так, то почему мы вообще должны называть это единицей?

Чтобы уточнить: я действительно думаю, что можно сказать, что единицы количества$1$. Этот ответ относится только к той части вопроса, которая гласит: «это число$1$единица по определению", что я понял для обозначения "это базовая единица, как$\mathrm{m}$или$\mathrm{K}$?"