Четные браны в IIA и нечетные браны в IIB

Во-первых, тензорное произведение двух спиноров Дирака есть прямая сумма дифференциальных$p$-формы для всех значений$p$. Это потому, что это тензорное произведение — это то же самое, что и пространство всех матриц, действующих на спинорное пространство Дирака. Но все матрицы (например,$4\times 4$Матрицы типа Дирака в 4 измерениях) могут быть записаны как линейные комбинации$1$,$\gamma_\mu$,$\gamma_{\mu\nu}$и так далее до "$\gamma_5$", т.е. произведение всех$d$матрицы.

Во-вторых, если в предыдущем абзаце слово «Дирак» заменить на «Вейль», т. е. киральный спинор, тензорное произведение все равно будет включать дифференциальные формы, но только «все четные$p$"или" все странное$p$"дифференциальные формы в зависимости от того, являются ли хиральности двух спиноров Вейля одинаковыми или противоположными. Это объясняет разложение двух$8\otimes 8$тензорные произведения, относящиеся к секторам Рамона-Рамонда типа IIB. $p$-формы поднимаются только до$d/2$, при этом средняя (пятерная) форма является самодвойственной, если мы рассмотрим «Вейль, умноженный на Вейля».

В-третьих, основное состояние периодических NSR-фермионов на струне вырождено и преобразуется как спинор (или тензорное произведение двух таких спиноров). Почему? Поскольку основное состояние является представлением операторов нулевой моды$\psi^\mu_0$которые не изменяют энергию. Но их антикоммутаторы образуют ту же алгебру, что и матрицы Дирака.$\Gamma^\mu$, поэтому представление должно быть таким же, как и у спинора. Проекции GSO подразумевают, что в физическом спектре остается только киральный/вейлевский спинор той же хиральности. четное/нечетное$p$возникает из-за того, что сэндвич-продукты$\bar s_1 \gamma_\mu\dots s_2$может быть показано равным нулю, если$s_1,s_2$некоторые конкретные$\gamma_5$(хиральность) собственные состояния, тем фактом, что$\gamma_5$антикоммутирует с$\gamma_\mu$и т. д. (поэтому либо все четные, либо все нечетные$p$можно показать, что формы исчезают).

В-четвертых, оператором, связанным с этим спинороподобным основным состоянием, является спиновое поле. Это можно увидеть, осознав, что спиновые поля являются операторами низшей размерности, преобразующимися как спиноры, а основное состояние в периодическом R (или RR) секторе является состоянием низшей энергии, преобразующимся как спинор (или тензорное произведение двух из их).

В-пятых, появление$\exp(-\phi/2)$есть просто бозонизация оператора, полностью аналогичного спиновым полям, живущим в$\beta\gamma$конформная теория поля. Если бы суперконформные призраки были фермионами, спиновое поле можно было бы бозонизировать до$\exp(\pm \phi/2)$своего рода, и это правило по-прежнему верно для «ребозонизации»$\beta\gamma$в$\phi$поля. Почему ребозонизация является эквивалентностью, является сложной проблемой в CFT, но это может быть доказано.

шестой,$G_{\mu\dots}$являются просто дифференциальными формами параметров поляризации для данного состояния/оператора, аналогично вектору поляризации$\vec\epsilon$фотона. Их индексы стягиваются с такими же индексами спиновых полей, так что у вершинного оператора не остается свободных индексов. В качестве альтернативы вы можете просто опустить$G$параметры и говорить о вершинных операторах со свободными несжатыми индексами Лоренца.

В-седьмых, перевод между состояниями и операторами — путь как$V$было получено – это простая задача, но требует работы. Вы должны понимать, почему существует "соответствие состояния-оператора", и знать некоторые методы CFT для определения словаря. Все это обсуждается в книге Полчински, чтобы читатель мог изучить ее с нуля.

Восьмой,$16$и$16'$не приходит из ниоткуда. Это всего лишь два реальных неэквивалентных киральных спинорных представления$Spin(9.1)$. $2^{10/2}=32$-мерный спинор Дирака расщепляется на две «половинки» в каждом четном пространственно-временном измерении. Вам нужно изучить базовую теорию репрезентации (особенно спиноров), чтобы понять эти вещи, но приложения к книге Полчински достаточно самодостаточны, так что вы должны быть в состоянии изучить эти вещи с нуля, по крайней мере, если вы столкнулись с ними. основные спиноры Дирака в 4D в общем курсе квантовой теории поля.