Число Черна в одномерной системе

Вы не можете определить номер Черна для одномерной системы, но вы можете определить номер обмотки (другой топологический индекс) для одномерной системы, который можно использовать для характеристики топологических фаз в модели SSH. Один все еще начинается с соединения Берри$A=\langle u_k|\mathrm{i}\partial_k|u_k\rangle\mathrm{d}k$(в терминах дифференциальной 1-формы). В 1D соединение Берри имеет только один компонент. Затем определите номер обмотки

$$P_1=\frac{1}{2\pi}\int_\text{BZ}A.$$ В отличие от числа Черна, которое квантуется, и любое другое целочисленное значение числа Черна обозначает другую топологическую фазу. Номер обмотки в общем случае не квантуется, и два номера обмотки отличаются на $1$эквивалентны (т.е. $P_1\sim P_1+1$). Здесь важна симметрия. При симметрии обращения времени (класса симметрии DIII) число витков меняется на противоположное. $P_1\to-P_1$. Таким образом, при сохранении симметрии число витков может принимать только два значения. $P_1=0,1/2$(Обратите внимание, что $1/2=-1/2$из-за мода $1$периодичность). В этом случае номер обмотки обозначает разные фазы в модели SSH. $P_1=0$соответствует тривиальной фазе и $P_1=1/2$соответствует топологической фазе.