Топологический изолятор Z2Z2Z_2: нечетное и четное количество пар краевых состояний

Ваше следующее утверждение почти точно:

«Мне известен аргумент о том, что возмущение, инвариантное к обращению времени, может связывать краевые состояния только попарно…»

Приведенное выше утверждение было бы более точным, если бы вы заменили «пара» на «аннигилировать». Использование первого по сравнению со вторым имеет физически различную интерпретацию. Если я начну с диагонального гамильтониана (скажем)$H_{0}$, выраженное в виде матрицы в базисе произвольного числа (четных) бесщелевых краевых мод, то электроны в этих модах не рассеиваются друг на друга, если матрица диагональна. Другими словами, режимы разделены . Используя ваш пример с тремя парами краевых состояний и предполагая для них дираковскую дисперсию, мы можем записать их дисперсию энергии-импульса как

$$E_{n,\pm}(k)=\pm\hbar v_{F,n}|k| \; ,$$ где $n=1,2,3$помечает пары и $\pm$идентифицирует партнера Kramers. Предполагая $v_{F,n}= v_{F}$для всех $n$, гамильтониан может быть выражен в матричной форме (в базисе, который вы определили выше) как $$H_{0}(k) = \hbar v_{F}|k|\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

Теперь, если ввести возмущение$V$(скажем, из вашего примера) и используйте метафору трафика , тогда электроны в одной и той же «полосе» (обозначенной красным или синим цветом) могут двигаться в любом направлении. Как вы правильно заметили, электроны в$| 1, 1 \rangle$и$| 2, 1 \rangle$(красные) полосы могут совершить «разворот», переключившись на$| 3, 2 \rangle$переулок. Другими словами, немагнитные примеси могут обратно рассеивать праводвижущиеся электроны и наоборот. Аналогичный аргумент можно привести и для синих дорожек. По построению это симметричные процессы с обращением времени. Вот быстрая проверка работоспособности: без магнитных примесей (и при условии, что$s_{z}$сохранения) спиновых флипов не будет. Следовательно, разделение красной и синей дорожек неявно предполагает симметрию обращения времени. Полный гамильтониан теперь становится

$$H_{1}(k) = H_{0}(k) + V \; .$$

Восстановленную краевую дисперсию можно получить путем диагонализации приведенного выше гамильтониана независимо для каждого$k$. Для простоты анализа сосредоточимся на$k=0$. Кроме того, нас в любом случае интересует бесщельность краевых состояний. Примечание:

$$\begin{align} H_{1}(0) &= H_{0}(0) + V \\ &= V \end{align} \; .$$ Диагонализация $V$прямым образом дает дважды вырожденные (т.е. всего шесть) собственные значения $\varepsilon = 0, \; \sqrt{2}a, \; - \sqrt{2}a$. Обратите внимание, что две пары граничных состояний приобрели $2\sqrt{2}a$запрещенная зона. Это можно рассматривать как аннигиляцию пары краевых состояний в импульсном пространстве .

Из приведенного выше примера может показаться, что только две пары состояний поглощают рассеяние, а третья остается нетронутой. Из явного выражения для$V$однако ясно, что рассеяние происходит во всех трех парах. Это потому, что мы смотрим на$V$матрица в исходной основе ; т. е. до того, как было введено возмущение. Как вы, возможно, уже знаете, в зонной теории принято обозначать полосы базисной диагональю в$k$-космос. Следовательно, в новом базисе рассеяние происходит только между двумя крамерсовскими парными (щелевыми) зонами, а третья (бесщелевая) остается нетронутой. Другой способ увидеть это таков: мы можем просмотреть (вопреки обычаю зонной теории) зонную структуру краевого состояния в новом базисе до того, как будет введено возмущение. Другими словами, мы можем переопределить краевые состояния как линейные комбинации старого базиса, используя компоненты собственного вектора из$V$диагонализация. Кроме того, линейная комбинация бесщелевого базиса снова будет бесщелевым (теперь уже с другими$v_{F,n}$х). В этом базисе рассеяние будет происходить только между двумя парами краевых состояний (для$|E| < |\sqrt{2}a|$) при медленном включении$V$.

В статье Хасана-Кейна авторы обсуждают общую теорию зонных топологических изоляторов. Следовательно, рис. 3 потенциально может представлять собой срез (в импульсном пространстве) полос$E(k_{x},k_{y},k_{z})$вдоль линии, соединяющей две точки инвариантного момента обращения во времени (TRIM)$\Gamma_{a}$и$\Gamma_{b}$. В случае квантового спинового эффекта Холла$\Gamma_{a} = 0$и$\Gamma_{b} = \pi$. Делая зеркальное отображение относительно$\Gamma_{a}=0$и построение в домене$k\in[-\pi,\pi)$вы можете увидеть конусы Дирака в$k=0$и$k=\pi$четко. Для модели Берневига-Хьюза-Жанга (BHZ) одномерный конус Дирака появляется на$\Gamma_{a}=0$для$0 < M/B < 4$и в$\Gamma_{b}=\pi$для$4 < M/B < 8$но не то и другое одновременно. Пожалуйста, смотрите подробности в ссылке:

Шидзюн Мао, Ёсио Курамото, Кен-Итиро Имура и Ай Ямакаге. « Аналитическая теория краевых мод в топологических изоляторах ». Журнал Физического общества Японии 79 , вып. 12 (2010). ( архив )

Примечание: они используют$\Delta/B$вместо$M/B$. Чтобы получить несколько точек Дирака, как на рис. 3, нам нужна математически более сложная модель, чем BHZ.