Что не так с выводом сокращения длины из пространственно-временного интервала таким образом?

Мое понимание пространственно-временной метрики таково: если Алиса и Боб становятся свидетелями двух вспышек света, Е 1 и Е 2 , а Алиса и Боб измеряют расстояние между положением двух световых вспышек как Δ Икс А и Δ Икс Б соответственно, и они также измеряют время, прошедшее между свидетелями двух событий, происходящих как Δ т А и Δ т Б соответственно, тогда

( Δ Икс Б ) 2 − с 2 ( Δ т Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 − с 2 ( Δ т А ) 2 .

Я смог вывести замедление времени только из этого уравнения, а именно:

с 2 ( Δ т Б ) 2 − ( Δ Икс Б ) 2 "=" с 2 ( Δ т А ) 2 − ( Δ Икс А ) 2
с 2 ( Δ т Б ) 2 ( 1 − ( Δ Икс Б ) 2 с 2 ( Δ т Б ) 2 ) "=" с 2 ( Δ т А ) 2 ( 1 − ( Δ Икс А ) 2 с 2 Δ т А 2 )
( Δ т Б ) 2 ( 1 − ( Δ Икс Б ) 2 с 2 ( Δ т Б ) 2 ) "=" ( Δ т А ) 2 ( 1 − ( Δ Икс А ) 2 с 2 Δ т А 2 )
( Δ т Б ) 2 ( 1 − в Б 2 с 2 ) "=" ( Δ т А ) 2 ( 1 − в А 2 с 2 )

Δ т Б 1 − в Б 2 с 2 "=" Δ т А 1 − в А 2 с 2

Сдача γ Б "=" 1 1 − в Б 2 с 2

поэтому мы находим

Δ т Б "=" Δ т А γ Б γ А

В случае, когда события находятся в одной и той же позиции в системе отсчета Алисы, γ А становится 1, и это уравнение является известным уравнением замедления времени.

Вот где начинается настоящий вопрос: когда я пытаюсь использовать ту же самую цепочку рассуждений для сокращения длины, я сталкиваюсь с проблемами.

Предположим, что Алиса наблюдает эти вспышки на каждом конце измерительной линейки, покоящейся по отношению к Алисе, одновременно в ее системе отсчета. Затем Δ т А "=" 0 , и мы получаем

( Δ Икс Б ) 2 − с 2 ( Δ т Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2

Теперь предположим, что Алиса (и, следовательно, измерительная линейка) движется с отличной от нуля скоростью в Б когда его заметил Боб. Теперь проделываем те же манипуляции, что и в предыдущем случае, выделяя Δ Икс Б 2

( Δ Икс Б ) 2 ( 1 − с 2 в Б 2 ) "=" ( Δ Икс А ) 2

Сразу же я начинаю видеть, что что-то пошло не так, так как ( 1 − с 2 в Б 2 ) должен быть отрицательным (судя по тому, что я слышал о физике, в Б 2 < с 2 ), таким образом, один из Δ Икс s должен быть мнимым. Действительно, если мы продолжим

( Δ Икс Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 1 ( 1 − с 2 в Б 2 )
( Δ Икс Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 в Б 2 ( в Б 2 − с 2 )
( Δ Икс Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 в Б 2 − с 2 ( − в Б 2 с 2 + 1 )
( Δ Икс Б ) 2 "=" − ( Δ Икс А ) 2 в Б 2 с 2 γ 2

Но это подразумевает, что

Δ Икс Б "=" я Δ Икс А в Б с γ

То есть мы получили мнимое значение наблюдаемой Бобом длины мерной палочки! Это не имеет никакого смысла!

Я знаю, что есть и другие производные сокращения длины, но я просто не уверен, почему этот не работает. Я просмотрел рассуждения несколько раз, но, кажется, не могу найти в нем изъяна. В частности, почему это должно работать для замедления времени, но не для сокращения длины? Где я неправ?

Для сокращения длины как dta, так и dtb должны быть равны нулю, вы можете получить это, потому что интервалы не равны, как вы можете легко видеть на диаграмме Минковского. Измерения проводятся одновременно в обеих системах отсчета.
@Wolphramjonny потребовалось некоторое время, чтобы понять это, но теперь я понимаю, что вы говорите. Вы имеете в виду, что dtb в данном случае — это время между двумя вспышками, а не время, за которое измерительная линейка перемещается из точки а в точку б. Т.е. это рассуждение неявно предполагает, что вспышки в кадре Боба одновременны. Это правильно?
мигание будет рассинхронизировано в одном из двух опорных кадров. Что вы делаете, чтобы измерить длину, так это отмечаете на своей оси положения передней и задней части палки одновременно в вашей системе отсчета. никому не нужно двигаться. так что dtb равен нулю, забудьте о вспышках. дта тоже ноль. но вы не можете приравнять интервалы dsa и dsb, потому что они не совпадают, измерения передней и задней части палки не соответствуют одним и тем же двум событиям в двух системах отсчета.
@Wolphramjonny Если вы напишете это в ответ, я приму это
Это не обязательно, я рад, что это помогло вам.

Ответы (2)

Что делает ваш анализ, так это находит пространственное разделение в системе отсчета Боба двух одновременных событий в системе отсчета Алисы, то есть двух событий в системе отсчета Алисы, которые происходят в разное время в системе отсчета Боба .

Вместо этого вам нужно сравнить пространственное разделение двух концов в кадре Алисы с их разделением в два одновременных момента в кадре Боба. Способ сделать это состоит в том, чтобы рассмотреть мировые линии двух концов объекта в системе отсчета Алисы (они будут параллельными линиями в направлении ее временной оси) и найти их пространственное разделение вдоль линии постоянного времени в системе отсчета Боба. даст вам длину объекта в кадре Боба.

Причина, по которой происходит сокращение длины, заключается в том, что, с точки зрения Алисы, Боб отмечает положение двух концов объекта в два разных момента времени, в частности, он измеряет положение передней кромки объекта раньше, чем положение задней кромки. , что дает заднему фронту немного времени для перемещения вперед в промежуточном периоде, что дает укороченный результат для длины.

Вы можете видеть, как это происходит, если вы рассматриваете двух человек на платформе на расстоянии друг от друга, которые пытаются измерить длину проходящего поезда. Они решают сделать это, один из них отметит положение передней части поезда по мере его прохождения, а другой отметит положение задней части, а затем измерит расстояние вдоль платформы между двумя отмеченными ими позициями. Ясно, что это работает только в том случае, если они отмечают положение двух концов точно в одно и то же время — если они отмечают положения в два разных момента времени, поезд будет перемещаться между двумя измерениями, и они получат неверный результат. Именно это и происходит при сокращении длины.

Если Алиса и Боб становятся свидетелями двух вспышек света Е 1 и Е 2 [...]

По-видимому, рассматривались две инерциальные системы отсчета, причем Алиса была членом одной из этих двух, а Боб - членом другой;

и два события (которые, в свою очередь, наблюдаемые или «мигающие» ), такие, что один (безымянный) член кадра Алисы и один (безымянный) член кадра Боба участвовали (по совпадению, обгоняя друг друга) в одном из этих событий, и еще один (хотя в некоторых случаях не обязательно отличный от вышеупомянутого) (неназванный) член фрейма Алисы и еще один (хотя в некоторых случаях не обязательно отличный от вышеупомянутого) (неназванный) член фрейма Боба участвовали (в совпадение, прохождение друг друга) в другом событии; и далее,

  • что расстояние между этими двумя идентифицированными элементами инерциальной системы отсчета Алисы обозначается как Δ Икс А (и что этих двух участников также называют «двумя концами мерной палочки Алисы »),

  • что расстояние между этими двумя идентифицированными элементами инерциальной системы отсчета Боба обозначается как Δ Икс Б (и что этих двух участников также называют «двумя концами мерной палочки Боба »),

  • что продолжительность одного из концов «мерной линейки» Алисы с момента ее участия в одном из двух упомянутых событий (встречи и прохождения одного из концов «мерной линейки» Боба ) до момента, когда она одновременно момент, когда другой конец «мерной линейки» Алисы принял участие в другом событии (встречался и прошел другой конец «мерной линейки» Боба ), обозначается как Δ т А , и

  • что продолжительность одного из концов «мерной линейки» Боба с момента его участия в одном из двух упомянутых событий (встречи и прохождения одного из концов «мерной линейки» Алисы ) до момента, когда он одновременно момент, когда другой конец «мерной линейки» Боба принял участие в другом событии (встреча и прохождение другого конца «мерной линейки» Алисы ), обозначается как Δ т Б ,

затем ( Δ Икс Б ) 2 − с 2 ( Δ т Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 − с 2 ( Δ т А ) 2

Верно; где с символизирует скорость сигнала фронта, конечно. (Мое несколько подробное объяснение всех символов в вашем уравнении состояло в том, чтобы подчеркнуть, что, несмотря на внешний вид, это утверждение без координат.)

Предположим, что Алиса наблюдает эти вспышки на каждом конце измерительной линейки, покоящейся по отношению к Алисе, одновременно в ее системе отсчета.

Назовем (соответственно) два момента «вспышки» или показания двух концов «мерной палочки» Алисы одновременными друг другу (в соответствии с определением Эйнштейна того, как это должно быть измерено).

Затем Δ т А "=" 0 , и мы получаем ( Δ Икс Б ) 2 − с 2 ( Δ т Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 .

Правильный.

Теперь предположим, что Алиса (и, следовательно, измерительная линейка) движется с отличной от нуля скоростью в Б когда его заметил Боб.

Боб и все соответствующие члены меры инерциальной системы отсчета Боба

  • что Алиса и все члены инерциальной системы отсчета Алисы движутся равномерно относительно нее. инерциальная система отсчета Боба и

  • что все они движутся с одинаковой (и обязательно постоянной) ненулевой скоростью в Б .

(Кроме того, Алиса и члены кадра Алисы могут наоборот определять постоянную скорость в А Боба и всех членов инерциальной системы отсчета Боба; и они узнают, что в А "=" в Б .)

Теперь [...] за вычетом ( Δ Икс Б ) 2

... да ...

[мы получаем] ( Δ Икс Б ) 2 ( 1 − с 2 в Б 2 ) "=" ( Δ Икс А ) 2

Нет! -- в Б определенно не определяется как отношение между ( Δ Икс Б ) и ( Δ т Б ) !

(А также, вообще говоря, значения этих двух по-разному определяемых величин не равны.)

Вместо этого с Δ т А "=" 0 , можно вывести (с помощью других, более элементарных рассуждений), что

( Δ Икс Б ) 2 − с 2 ( Δ т Б ) 2 "=" ( Δ Икс А ) 2 "=" ( Δ Икс Б ) 2 ( 1 − в Б 2 с 2 ) ,

также известное как «сокращение длины».

Что не так с выводом сокращения длины из пространственно-временного интервала таким образом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v