Параметр. Мы рассматриваем трансформацию1
который действует на переменные поляфα( х )
и, возможно, точка пространства-времениИксмю
. Преобразование, в свою очередь, относится к
ДействиеСВ[ ф ] =∫Вгнх л
.
Уравнения Эйлера-Лагранжа = уравнения движения (УЭД).
Решениеф
ЭОМ.
Определение. Если какой-либо из элементов 1-3 инвариантен относительно преобразования, то говорят о симметрии соответствующего элемента 1-3.
Определение. Если решение (3) не имеет симметрии, которую имеет ЭОМ (2), мы говорим о спонтанно нарушенной симметрии .
Определение. Далее давайте вспомним определение (вне оболочки)2
) квазисимметрия действия. Это означает, что действие изменяется граничным интегралом
СВ′[ф′] +∫∂В′гп - 1х ( … ) = СВ[ ф ] +∫∂Вгп - 1х ( … ) (0,1)
под трансформацию.
Предложение. В общем случае, если действие (1) обладает квазисимметрией, то ЭОМ (2) должно иметь симметрию (относительно того же преобразования), ср. например, этот пост Phys.SE.
Примеры:
Одним из примеров является плотность лагранжиана Максвелла (в вакууме безДжмюАмю
исходный термин)
Л =- 14Фмк νФмк ν "=" 12(Е⃗ 2−Б⃗ 2) ,(1.1)
который не имеет электромагнитногоСО ( 2 , Р )
двойственная симметрия
(Е⃗ ,Б⃗ )⟶(Е⃗ потому чтоθ -Б⃗ грех, _Б⃗ потому чтоθ +Е⃗ грехθ ) ,(1.2)
а уравнения Эйлера-Лагранжа (уравнения Максвелла в вакууме) симметричны относительно электромагнитной двойственности.
Другим примером является нерелятивистская свободная точечная частица, где лагранжиан
Л = 12мд˙2(2.1)
не инвариантен относительно галилеевой симметрии
д˙⟶д˙+ в ,(2.2)
ни расширение/масштабная симметрия
д⟶λq _,(2.3)
но МНВ
д¨ = 0 (2.4)
является инвариантным. В случае галилеевой симметрии (2.2) лагранжиан меняется на полную производную по времени
л⟶L + м vггт( q+в т2) .(2.5)
См. также этот пост Phys.SE. Таким образом, (2.2) фактически является примером квазисимметрии действия. [Поучительно вывести соответствующий заряд НётерВопрос
. На бесконечно малом уровне преобразование Галилея (2.2) имеет вид
дельтад˙ "=" дельтаЛ = дельтаv = е , дельтад = е т , εгфгт,ф : = м q .(2.6)
Голый нётеровский заряд равен
Вопрос0 = т ∂л∂д˙ = т м д˙,(2.7)
в то время как полный нётеровский заряд равен
Q = Вопрос0− ф = м ( д˙т - д) ,(2.8)
который сохраняется на скорлупе, ср. Теорема Нётер . (Нерелятивистский) буст-генератор Галилея (2.8) следует сравнивать с (релятивистскими) лоренцевыми буст-генераторамит П− х Е
в релятивистских теориях, см. например, этот пост Phys.SE.]
Преобразование расширения/масштаба
д⟶λq _,(3.1)
не является квазисимметрией лагранжевого действия
С[ д] = ∫ гт л , Л = м2д˙2−к2д2,(3.2)
для простого гармонического осциллятора (SHO), но это симметрия ЭОМ
мд¨ = - k q .(3.3)
Преобразование расширения/масштаба
д⟶λq _,п⟶λ р ,(4.1)
не является квазисимметрией гамильтонова действия
СЧАС[ д, р ] = ЧАС "=" ∫гт лЧАС,лЧАС = р д˙− Н,п22 м+к2д2,(4.2)
для SHO, но это симметрия ЭОМ Гамильтона
р = м д˙,п˙ = - k q .(4.3)
МНВ ШО
мд¨ = - k q (5.1)
не инвариантен относительно временной симметрии
т⟶λ т ,λ ≠ ± 1 , (5.2)
но тривиальное решениед= 0
является.
--
1
Обратите внимание, что в основной части этого ответа преобразование действует только на переменные поля.фα( х )
и, возможно, точка пространства-времениИксмю
, который является типом преобразования, относящимся к теореме Нётер . Мы не рассматриваем преобразование других объектов (например, параметров) как таковое.
Пример последнего: преобразование лагранжевой плотности
L ⟶λ L ,λ ≠ 1 , (6.1)
не является квазисимметрией лагранжевой плотности, а является симметрией уравнений ЭЛ.
2
Здесь слово вне оболочки указывает на то, что EOM не предполагается сохранять при конкретном преобразовании. В случае непрерывных преобразований, если мы предполагаем, что EOM выполняется, то любая бесконечно малая вариация действия тривиально является граничным интегралом.
Qмеханик