Что такое оператор для краевого тока дробного квантового холловского состояния?

Край дробного квантового состояния Холла представляет собой киральную конформную теорию поля. В случае Лафлина это соответствует киральному бозону,

$$S = \frac{1}{4\pi} \int dt dx \left[\partial_t\phi\partial_x\phi - v (\partial_x\phi)^2\right]$$

Здесь поле$\phi$отождествляется с оператором плотности заряда:

$$\rho(x) = \frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$$

Теперь вы ожидаете, что этот оператор будет нулевым компонентом двухвектора,$J^\mu = (\rho, j)$с$j$краевой ток. Так как же$j$относится к$\phi$? Причина, по которой я спрашиваю, заключается в том, что литература дает разные ответы на этот вопрос.

1. В этой статье в начале главы III говорится об использовании уравнения неразрывности для получения$j = -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$.
2. В этой статье (предупреждение в формате PDF) есть уравнение (2.12), относящееся к$j = -\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_t\phi$. Хотя никакой мотивации.
3. В этой статье сначала теория связывается с электромагнитным потенциалом с компонентами$(a_0, a_x)$на границе($D_\mu = \partial_\mu + \sqrt{\nu}a_\mu$), $$S = \int dt dx \frac{1}{4\pi}\left[D_t\phi D_x\phi - v_c (D_x\phi)^2\right]+\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi}\epsilon^{\mu\lambda}a_{\mu}\partial_\lambda\phi$$ и определяет ток через$J^\mu = \frac{\delta S}{\delta a_{\mu}}$давать$J^\mu=(\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi, -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi)$.

Поэтому я замечаю, что случай 3 сводится к случаю 1, когда$a_x = 0$. Кроме того, случай 3 калибровочно инвариантен, так что этот оператор кажется логичным выбором.

Моя проблема с этим выбором заключается в следующем: рассмотрим систему с двумя ребрами (бесконечная квантовая полоса Холла) и предположим, что у вас есть ненулевой потенциал на одном ребре,$a_t = U$и$a_x = 0$по этому краю. Таким образом, вы ожидаете, что через систему будет протекать ток, потому что края удерживаются при разных потенциалах (а ток течет перпендикулярно разности потенциалов из-за квантового соотношения Холла). Но:$\langle \partial_x \phi\rangle = 0$, поэтому для случаев 1 и 3 тока нет... Делает ли это случай 2 правильным выбором?

Так что, возможно, вопрос сводится к следующему: какой оператор представляет граничный ток? Какой оператор «измеряется» в эксперименте, где измеряется ток?