Как вычислить вероятность найти частицу между двумя барьерами?

Учитывая дельта-функцию α дельта ( Икс + а ) и бесконечный энергетический потенциальный барьер на [ 0 , ∞ ) , вычислить рассеянное состояние, вычислить вероятность отражения как функцию α , импульс пакета и энергия. Также рассчитайте вероятность нахождения частицы между двумя барьерами.

Я начну с составления стандартных уравнений для волновой функции:

ψ я "=" А е я к Икс + Б е − я к Икс когда  Икс < − а , ψ я я "=" С е я к Икс + Д е − я к Икс когда  − а < Икс < 0

Требование непрерывности в Икс "=" − а означает

А е − я к а + Б е я к а "=" С е − я к а + Д е я к а

Тогда требование специфического разрыва производной в точке Икс "=" − а дает

я к ( − С е − я к а + Д е я к а + А е − я к а − Б е я к а ) "=" − 2 м α ℏ 2 ( А е − я к а + Б е я к а )

В этот момент я установил А "=" 1 (для одного волнового пакета) и установить Д "=" 0 для расчета вероятностей отражения и прохождения. После долгих занятий алгеброй я прихожу к

Б "=" γ е − я к а − γ е я к а − 2 я к е я к а С "=" 2 е − я к а γ е − я к а − 2 я к е − я к а

(где γ "=" − 2 м α ℏ 2 ) и, таким образом, отражение проблемы. р "=" γ 2 γ 2 + 4 и проблема передачи. Т "=" 4 γ 2 + 4 .

Здесь я столкнулся с проблемой определения вероятности нахождения частицы между двумя барьерами. Так как барьер на 0 бесконечна, единственная утечка может быть через барьер дельта-функции на − а . Хотел бы я использовать предыдущие условия, но на этот раз установить А "=" 1 и С "=" Д за счет полного отражения барьера на 0 а затем вычислить Д * Д ?

Привет, Hippie_Eater, и добро пожаловать на биржу стека физики! Отличный вопрос :-) Надеюсь, вы не возражаете, что я изменил стиль отображения некоторых уравнений для облегчения чтения.
Спасибо, так намного лучше - я все еще полирую свой TeK-Fu, поэтому надеюсь, что в будущем он будет выглядеть так же сексуально.

Ответы (2)

Подсказки к вопросу (v5):

  1. OP правильно накладывает два условия из-за потенциала дельта-функции при Икс "=" − а , но OP также должен накладывать граничное условие ψ ( Икс "=" 0 ) "=" 0 из-за бесконечного потенциального барьера на Икс ≥ 0 .

  2. Вероятность передачи равна нулю из-за бесконечного потенциального барьера на Икс ≥ 0 . (Напомним, что передача означала бы, что частица может быть найдена на Икс → ∞ , что невозможно.)

  3. Следовательно, имеется 100-процентная вероятность отражения, ср. унитарность С -матрица. См. также этот ответ Phys.SE.

  4. Как пишет OP, вдали от двух препятствий есть просто свободное решение не зависящего от времени уравнения Шредингера, а именно линейная комбинация двух колебательных экспонент е ± я к Икс . Это решение ненормируемо на некомпактном интервале Икс е ] − ∞ , 0 ] .

  5. Чтобы сделать волновую функцию нормируемой, давайте урежем пространство для Икс < − К , где К > 0 очень большая константа. А сейчас Икс е [ − К , 0 ] . Затем можно определить и вычислить вероятность п ( − а ≤ Икс ≤ 0 ) нахождения частицы между двумя барьерами с помощью обычной вероятностной интерпретации квадрата волновой функции.

  6. Если теперь мы позволим параметру усечения К → ∞ , то без вычислений можно сделать вывод, что эта вероятность п ( − а ≤ Икс ≤ 0 ) → 0 уходит в ноль.

Я обновил ответ.

Вероятность найти частицу в интервале а < Икс < б определяется интегралом

∫ а б ψ * ψ г Икс ,
предполагая, что ваша волновая функция правильно нормализована.

Итак, в вашем случае вы должны рассчитать

∫ − а 0 ψ я я * ψ я я г Икс ∫ − ∞ − а ψ я * ψ я г Икс + ∫ − а 0 ψ я я * ψ я я г Икс .

Числитель — это интересующая вас область, знаменатель позаботится о нормализации, так что вероятность окажется между 0 и 1. Я оставлю вам вычисление интегралов.

Спасибо, у меня есть склонность все усложнять. Но это поднимает вопрос, какие условия я должен использовать, чтобы выяснить А , Б , С , Д ? Предположительно, это были бы два стандарта в отношении преемственности в ψ в − а и прерывистость ψ ′ в − а но я думаю, что мне нужно больше, чем это? Правильно ли я думаю, что барьер в 0 полностью отражает и, таким образом, С "=" Д ?
Итак, у вас есть четыре неизвестных ( А , Б , С , Д ). У вас уже есть два условия, вам нужно еще два. Как утверждает #Qmechanic, одно из условий должно быть ψ ( 0 ) "=" 0 . Другой можно получить из нормализации ( ∫ − ∞ 0 ψ * ψ г Икс "=" 1 ).
Отметим, что волновая функция рассеяния ψ ( Икс ) не нормализуется.
Как вычислить вероятность найти частицу между двумя барьерами?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v