Ток вероятности в зависимости от направления волновой функции

Я сделал упражнение для своей лекции по квантовой механике: пусть ℏ =2м=1. Частица в 1 измерении имеет Дж ( Икс ) "=" 2   я м ( ψ ¯ ( Икс )   ψ ′ ( Икс ) ) и это показать, что есть суперпозиции ψ ( Икс ) "=" а 1 е я к 1 Икс + а 2 е я к 2 Икс , где к 1 , к 2 > 0 , волн, распространяющихся вправо при x=0, но j(0)<0.

Вы можете показать это, вычислив j(0), что приводит к неположительно полуопределенной квадратичной форме в а 1 ,   а 2 .

(Примечание: эта суперпозиция не может быть нормализована, но в упражнении утверждается, что существуют аналоговые волны, которые могут это сделать.)

У меня проблемы с пониманием этого. Как волна (и, следовательно, вероятность того, что частица окажется в положении x) может распространяться вправо, когда ток отрицателен? Может быть, кто-нибудь может объяснить мне, как думать об этом?

Редактировать: Официальное решение упражнения: "С ψ ′ "=" я ( к 1 а 1 е я к 1 Икс + к 2 а 2 е я к 2 Икс ) является:

ψ ¯ ( 0 ) ψ ′ ( 0 ) "=" ∑ я , Дж "=" 1 2 я   а ¯ я к Дж а Дж и

Дж ( 0 ) "=" ∑ я , Дж "=" 1 2 ( к я + к Дж ) а ¯ я а Дж

Эта квадратичная форма в а 1 , а 2 не является положительно полуопределенным, поскольку определитель задается выражением − ( к 1 − к 2 ) 2 < 0 "

Когда я решил указанную задачу, я получил плотность тока вероятности, направление которого ориентировано вдоль волновых векторов. Я использовал формулы Эйлера. Также не забывайте брать только мнимую часть.
В задании явно указано, что ситуация такая, как я описал. Кроме того, я получил решение этого упражнения: см. редактирование.
Я только что понял, что в формуле j(x) также была ошибка. Это могло повлиять на ваш результат. Извини за это. Только что исправил.

Ответы (2)

На ваш вопрос "Как волна может распространяться вправо, когда ток отрицательный?" Я отвечу, что ваше утверждение о том, что «волна распространяется вправо», не совсем верно: здесь вы должны учитывать групповую скорость, а не каждую индивидуальную фазовую скорость.

Поскольку обе плоские волны распространяются вправо с к 1 , к 2 > 0 , то вы неявно предполагаете ю 1 ≡ ю ( к 1 ) > 0 и ю 2 ≡ ю ( к 2 ) > 0 , но ваша проблема не дает больше информации о соотношении дисперсии.

Чтобы иметь лучшее представление о том, что такое поток плотности вероятности, вам нужно рассмотреть групповую скорость здесь, заданную выражением Δ ю Δ к "=" ю 2 − ю 1 к 2 − к 1 , который действительно может иметь любой знак в зависимости от закона дисперсии.

Мне довелось наткнуться на этот старый вопрос, но я думаю, что все же стоит дать ответ на будущее.

Доминик Жоффруа прав, указывая на необходимость дисперсионного соотношения. Однако я думаю, что эта проблема поучительна даже в самом простом случае материальной частицы, эволюционирующей свободно, т. е. с законом дисперсии ю ( к ) "=" ℏ к 2 2 м (Конечно, я рассматриваю нерелятивистский предел).

В этом сценарии вполне возможно иметь волновой пакет только с положительными импульсами, которые вызывают отрицательный ток в течение некоторых интервалов времени. Это контринтуитивное явление хорошо известно и достаточно давно изучается в квантовой механике (главным образом в связи с задачей определения распределения времени прихода массивной частицы, описываемой квантовой механикой).

В литературе это явление называется «эффект обратного потока»: см. http://arxiv.org/abs/1301.4893 для введения в предмет и ссылки там, если вам интересно.

Ток вероятности в зависимости от направления волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v