Демонстрация антисимметрии электромагнитного тензора

Question

Демонстрация антисимметрии электромагнитного тензора

Джени

Я уже делал пост на эту тему здесь, но понял, что не понял объяснения в этом посте. в главе 7 книги Риндлера по теории относительности в разделе о тензоре электромагнитного поля он утверждает, что

и вводя множитель 1/c для дальнейшего удобства, мы можем «угадать» тензорное уравнение ,

Ф_{мю} "=" \frac{д}{с} Е_{мю ν} U^{ν}

$F_\mu= \frac{q}{c} E_{\mu \nu} U^\nu$ тем самым вводя тензор электромагнитного поля

Е_{мю ν}

$E_{\mu \nu}$ Мы, конечно, хотели бы силу $F\mu$ сохранять массу покоя, что согласно (6.44) и (7.15) требует

Ф_{мю} U^{мю} "=" 0

$F_\mu U^\mu = 0$ . Итак, нам нужно

Е_{мю ν} U^{мю} U^{ν} "=" 0

$E_{\mu \nu} U^\mu U^\nu = 0$ для всех $U^\mu$ , а значит, и антисимметрия тензора поля

Е_{мю ν} "=" - Е_{ν мю}

$E_{\mu \nu}= −E_{\nu \mu}$ \

. . . Я действительно запутался в правильном способе показать, что уравнение $E_{\mu \nu} U^\mu U^\nu = 0$ подразумевает тот факт, что $E_{\mu\nu}$ является антисимметричным тензором. Какова правильная демонстрация этого следствия?

OBS: я видел несколько сообщений, отвечающих на этот вопрос с помощью нотации билинейных карт вместо нотации компонентов. Если возможно, продемонстрируйте, используя обозначение индекса, как в посте.

Вальтер Моретти

Подсказка: разложить

E

$E$ как сумма его симметричной и антисимметричной частей.

Джени

@ValterMoretti Итак, если

E_{μ ν} U^{μ} U^{ν} = (E_{(μ ν)} + E_{[μ ν]}) U^{μ} U^{ν} = 0, \forall U

$E_{\mu \nu} U^\mu U^\nu = (E_{(\mu \nu)} + E_{[\mu \nu]} )U^\mu U^\nu = 0 , \ \forall U$ . Коммутируя индекс манекенов, мы имеем

E_{ν μ} U^{ν} U^{μ} = (E_{(ν μ)} + E_{[ν μ]}) U^{ν} U^{μ} = 0, \forall U

$E_{\nu \mu} U^\nu U^\mu = (E_{(\nu \mu)} + E_{[\nu \mu]}) U^\nu U^\mu = 0, \ \forall U$ . Используя свойства симметричной и антисимметричной частей

E

$E$ и поездки на работу

U^{μ}

$U^\mu$ и

U^{ν}

$U^\nu$ , мы получаем

E_{n u μ} U^{μ} U^{ν} = (E_{(μ ν)} + - E_{[μ ν]} U^{μ} U^{ν} = 0, \forall U

$E _{\\nu \mu} U^\mu U^\nu = (E_{(\mu \nu)} +-E_{[\mu \nu]} U^\mu U^\nu = 0 , \ \forall U$ . Итак, что мне нужно сделать сейчас, чтобы завершить демонстрацию?

Вальтер Моретти

Суммируя первую и последнюю личность, у вас есть это

2 E_{(a b)} U^{a} U^{b} = 0

$2E_{(ab)}U^aU^b=0$ . Здесь, если предположить

U = X + Y

$U=X+Y$ и, используя симметрию индексов, находим

2 E_{(a b)} X^{a} Y^{b} = 0

$2E_{(ab)}X^aY^b=0$ .

Вальтер Моретти

Произвольность

X

$X$ и

Y

$Y$ следует, что симметричная часть

E

$E$ должен равняться нулю (все его матричные элементы равны нулю). Следовательно

E

$E$ имеет только антисимметричную часть: она антисимметрична.

Ответы (2)

Демонстрация антисимметрии электромагнитного тензора

Подсказка: разложить $E$ как сумма его симметричной и антисимметричной частей.
@ValterMoretti Итак, если $E_{\mu \nu} U^\mu U^\nu = (E_{(\mu \nu)} + E_{[\mu \nu]} )U^\mu U^\nu = 0 , \ \forall U$ . Коммутируя индекс манекенов, мы имеем $E_{\nu \mu} U^\nu U^\mu = (E_{(\nu \mu)} + E_{[\nu \mu]}) U^\nu U^\mu = 0, \ \forall U$ . Используя свойства симметричной и антисимметричной частей $E$ и поездки на работу $U^\mu$ и $U^\nu$ , мы получаем $E _{\\nu \mu} U^\mu U^\nu = (E_{(\mu \nu)} +-E_{[\mu \nu]} U^\mu U^\nu = 0 , \ \forall U$ . Итак, что мне нужно сделать сейчас, чтобы завершить демонстрацию?
Суммируя первую и последнюю личность, у вас есть это $2E_{(ab)}U^aU^b=0$ . Здесь, если предположить $U=X+Y$ и, используя симметрию индексов, находим $2E_{(ab)}X^aY^b=0$ .
Произвольность $X$ и $Y$ следует, что симметричная часть $E$ должен равняться нулю (все его матричные элементы равны нулю). Следовательно $E$ имеет только антисимметричную часть: она антисимметрична.

Вальтер Моретти · Answer 1

Сначала разложить $E$ как сумма его симметричной и антисимметричной частей:

Е_{а б} "=" Е_{(а б)} + Е_{[а б]} .

$E_{ab} = E_{(ab)} + E_{[ab]}\:.$ Теперь идея состоит в том, чтобы доказать, что

\begin{matrix} (0) & Е_{(а б)} "=" 0 \end{matrix}

$E_{(ab)} =0\tag{0}$ так что

E_{a b} = E_{[a b]}

$E_{ab} = E_{[ab]}$ является антисимметричным.

Для этого заметим, что в нашей гипотезе

\begin{matrix} (1) & 0 "=" Е_{а б} U^{а} U^{б} "=" Е_{(а б)} U^{а} U^{б} + Е_{[а б]} U^{а} U^{б}, \end{matrix}

$0= E_{ab}U^aU^b = E_{(ab)}U^aU^b + E_{[ab]}U^aU^b\:,\tag{1}$ где

Е_{[а б]} U^{а} U^{б} "=" Е_{[б а]} U^{б} U^{а} "=" - Е_{[а б]} U^{б} U^{а} "=" - Е_{[а б]} U^{а} U^{б} "=" 0 .

$E_{[ab]}U^aU^b= E_{[ba]}U^bU^a= -E_{[ab]}U^bU^a = -E_{[ab]}U^aU^b =0\:.$ Здесь (1) подразумевает

\begin{matrix} (2) & Е_{(а б)} U^{а} U^{б} "=" 0 . \end{matrix}

$E_{(ab)}U^aU^b =0\:.\tag{2}$ Письмо

U = X + Y

$U=X+Y$ , имеем из (2)

\begin{matrix} (3) & Е_{(а б)} {Икс}^{а} {Икс}^{б} + Е_{(а б)} Д^{а} Д^{б} + 2 Е_{(а б)} {Икс}^{а} Д^{б} "=" 0 . \end{matrix}

$E_{(ab)}X^aX^b + E_{(ab)}Y^aY^b + 2E_{(ab)}X^aY^b=0\:.\tag{3}$ где мы использовали

Е_{(а б)} {Икс}^{а} Д^{б} "=" Е_{(а б)} Д^{а} {Икс}^{б}

$E_{(ab)}X^aY^b= E_{(ab)}Y^aX^b$ как следствие симметрии

E_{(a b)}

$E_{(ab)}$ . Используя снова (2) в (3) для

U = X

$U=X$ и

U = Y

$U=Y$ , получаем для каждого выбора

X

$X$ и

Y

$Y$ ,

Е_{(а б)} {Икс}^{а} Д^{б} "=" 0 .

$E_{(ab)}X^aY^b=0\:.$ Другими словами, все матричные элементы матрицы элементов

E_{(a b)}

$E_{(ab)}$ исчезнуть, так что

E_{(a b)} = 0

$E_{(ab)}=0$ и (0) верно, что завершает доказательство.

Номер по каталогу · Answer 2

Вероятно, будет понятнее вернуться назад:

Е_{мю ν} "=" - Е_{ν мю} \Leftrightarrow Е_{мю ν} U^{мю} В^{ν} "=" - Е_{ν мю} U^{мю} В^{ν} \forall U, В \Leftrightarrow Е_{мю ν} U^{мю} В^{ν} "=" - Е_{мю ν} U^{ν} В^{мю} \forall U, В Перемаркировать RHS мю \leftrightarrow ν \Leftrightarrow Е_{мю ν} (U^{мю} + В^{мю}) (U^{ν} + В^{ν}) "=" 0 \forall U, В

$E_{\mu\nu} = -E_{\nu \mu}\\ \Leftrightarrow E_{\mu\nu}U^\mu V^\nu = -E_{\nu\mu}U^\mu V^\nu \hspace{1em} \forall U, V\\ \Leftrightarrow E_{\mu\nu}U^\mu V^\nu = -E_{\mu\nu}U^\nu V^\mu \hspace{1em} \forall U, V \hspace{1em}\text{Relabel RHS} \mu \leftrightarrow \nu\\ \Leftrightarrow E_{\mu \nu} (U^\mu + V^\mu)(U^\nu + V^\nu) = 0 \hspace{1em} \forall U, V$

Теперь мы понимаем, что добавление $V$ в последнем уравнении на самом деле не меняет условия, и, не теряя общности, мы можем считать его равным нулю. Итак, мы устанавливаем $E_{\mu\nu}U^\mu U^\nu \Leftrightarrow E_{\mu\nu} = - E_{\nu\mu}$

Здесь используется только одно свойство — линейность каждого тензора.

Демонстрация антисимметрии электромагнитного тензора

Джени

Вальтер Моретти

Джени

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Ответы (2)

Вальтер Моретти

Джени

Номер по каталогу

Путаница по поводу математической природы электромагнитного тензора и полей E, B

Тензорная формулировка уравнений Максвелла

В чем я ошибся, выводя закон индукции Фарадея из его явно ковариантной формы?

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Вывод 4-токового jjj как 4-вектора Ландау-Лифшица: формулировка со строгой математической обработкой?

Доказательство существования 4-потенциала из уравнения поля Гаусса-Фарадея

Доказательство лоренц-инвариантности уравнений Максвелла

Простой вывод уравнений Максвелла из электромагнитного тензора

Почему уравнения Максвелла содержат скалярное, векторное, псевдовекторное и псевдоскалярное уравнение?

Ковариантная формулировка электродинамики