Доказательство лоренц-инвариантности уравнений Максвелла

Я где-то читал, что не нужно доказывать лоренц-инвариантность уравнений Максвелла. Ф мю ν , о + Ф ν о , мю + Ф о мю , ν "=" 0 потому что они «явно лоренц-инвариантны» или «потому что они являются тензорными уравнениями»? Что это значит? Я читал, что это может означать, что пространство и время рассматриваются «на равных». Как это может заменить математическое доказательство?

Вы должны узнать, что такое тензоры. Чтобы понять, почему уравнение является инвариантным по Лоренцу, вы преобразуете каждый компонент уравнения Ф , с Ф является тензором (лоренц-инвариантным), уравнение также инвариантно. Я думаю, это можно было бы сформулировать более строго, но я не знаю, хотите ли вы рассмотреть математическое доказательство. Может быть, что-то вроде Данного n-мерного дифференцируемого многообразия M. Пусть F будет...
Действительно, если лагранжиан лоренц-инвариантен, то и полученные уравнения движения тоже будут инвариантны. Поскольку EM-лагранжиан задается выражением л Е М "=" Ф мю ν Ф мю ν , который является лоренц-инвариантным скаляром, вы знаете, что результирующие уравнения движения должны быть лоренц-инвариантными.
Уэбб, однако уравнение ОП не выводится из этого лагранжиана. Это идентификация Бьянки, и она сохраняется, как только вы говорите, что ваша сила поля Ф получается из потенциала. л Е М дает вам другое уравнение ∂ мю Ф мю ν "=" 0 , если я не ошибаюсь.
@jinawee: на самом деле я целыми днями занимаюсь тензорным произведением математиков в коммутативной алгебре. И в каком смысле тензорный инвариант Лоренца? вы имеете в виду просто потому, что при их определении не упоминаются преобразования?
Небольшое замечание: в физике, когда мы говорим, что объект является тензором, мы на самом деле имеем в виду, что это тензор относительно действия некоторой группы. Но обычно мы опускаем последнюю часть и небрежно обращаемся с нашим языком. Например Ф мю ν является (0,2) тензором относительно группы Лоренца (или Пуанкэра в целом), в то время как что-то вроде спинора Вейля является вектором, преобразующимся при фундаментальном представлении SU (2). 3-вектор, подобный импульсу, является вектором под SO (3), а 4-вектор, подобный 4-вектору импульса, является вектором под группой Лоренца.
@nervxxx спасибо за это, очень полезно знать. культурные различия иногда немного велики

Ответы (1)

Вы не «заменяете математическое доказательство». Утверждения, на которые вы ссылаетесь, означают, что в тензорной нотации доказательство является немедленным, поэтому ничего не нужно записывать. Это потому, что если у вас есть тензорное уравнение, как указано выше, чтобы доказать лоренц-инвариантность, выполните преобразование Лоренца и перейдите к другому набору координат. Икс мю ′ . Тогда, используя обычные законы преобразования, получаем, что ∂ мю "=" Λ мю мю ′ ∂ мю ′ и Ф мю ν "=" Λ мю мю ′ Λ ν ν ′ Ф мю ′ ν ′ , мы можем написать уравнение Максвелла в терминах новых координат, чтобы стать

Λ мю мю ′ Λ ν ν ′ Λ о о ′ ( Ф мю ′ ν ′ , о ′ + Ф ν ′ о ′ , мю ′ + Ф о ′ мю ′ , ν ′ ) "=" 0.

Однако это может иметь место только в том случае, если вещь внутри скобок сама по себе равна нулю. А именно уравнение Максвелла в системе координат со штрихом также имеет место.

Короче говоря, «тензорное уравнение» означает, что в системе координат, в которой были получены уравнения, не было ничего особенного. С тем же успехом вы могли бы выбрать другую систему и вывести те же уравнения. Таким образом, инвариантность относительно замены координат мгновенна.

Я вижу сейчас. Координаты, пожалуй, следует вообще отменить.
Да. Вы также можете записать уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм. Это уравнение просто д Ф "=" 0 в этом обозначении.
Просто канонично. Я удивлен, почему до сих пор сохранились другие, более примитивные версии; в конце концов, выживает сильнейший (в британском английском "fit" также означает "привлекательный" ;))
Ну, во-первых, было бы трудно преподавать самую сложную версию людям, которые только начинают свою студенческую карьеру в области физики. Видеть, как электрические и магнитные поля ведут себя физически, также будет намного яснее, если вы запишете их в терминах нотации векторного исчисления.
Также бывает так, что на практике вычисления в конкретных моделях затруднительны или невозможны без координат. Координаты также приводят к большому количеству физической интуиции (возможно, поэтому, например, Эйнштейн думал в терминах координат, когда он формулировал ОТО, кроме, возможно, современной дифференциальной геометрии, недоступной, хотя я не уверен насчет истории) .
Эйнштейн совершенно ничего не знал о большей части дифференциальной геометрии, как и о многих других современных разработках. Он, например, безмерно боролся с проблемами, которые были бы решены сразу же, если бы он знал о личностях Бьянки. Все это с удивительными подробностями описано в превосходной биографии «Тонкий Господь», написанной коллегой-физиком и историком физики Авраамом Паисом.
Доказательство лоренц-инвариантности уравнений Максвелла
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v