В чем я ошибся, выводя закон индукции Фарадея из его явно ковариантной формы?

РЕДАКТИРОВАТЬ: ПРОБЛЕМА РЕШЕНА

Я уверен, что это просто ошибка в расширении компонентов тензора с моей стороны, но я изо всех сил пытаюсь обнаружить ошибку - где знак минус ??

Выражая законы классического электромагнетизма (уравнения Максвелла) в явно ковариантной форме, то есть в форме, полностью согласующейся с тензорными преобразованиями, можно выразить два уравнения Максвелла (закон Гаусса для магнетизма и закон индукции Фарадея). следующим тензорным уравнением:

∂ мю Ф ~ мю ν "=" 0

где ∂ мю четырехградусный ( ∂ ∂ ( с т ) , ∇ → ) и Ф ~ мю ν является контравариантной формой дуального тензора напряженности поля (дуального электромагнитного тензора). мю , ν "=" 0 , 1 , 2 , 3 . Я представил полную матрицу в конце для полноты, и везде я использую (+---) подпись.

Закон Гаусса для магнетизма можно легко реализовать, оценив

∂ я Ф ~ я 0 "=" 0

где я "=" 1 , 2 , 3 .

Точно так же закон индукции Фарадея можно реализовать, оценив

∂ мю Ф ~ мю я "=" 0

в чем тут проблема. Разлагая это тензорное уравнение на его суммированные компоненты, я получаю следующее (я подробно изложил, чтобы правильно объяснить ход моих рассуждений (или то, что, по сути, является моим неправильным ходом рассуждений)) где каждое из четырех уравнений, соответствующих каждое значение я можно суммировать, потому что все они равны нулю, а последние три члена в квадратных скобках соответствуют трем декартовым компонентам завитка:

− 1 с ( ∂ Б Икс ∂ т + ∂ Б у ∂ т + ∂ Б г ∂ т ) + 1 с ( ∂ Е у ∂ г − ∂ Е г ∂ у ) + 1 с ( ∂ Е г ∂ Икс − ∂ Е Икс ∂ г ) + 1 с ( ∂ Е Икс ∂ у − ∂ Е у ∂ Икс ) "=" 0

где последние три члена в квадратных скобках Икс , у и г компоненты завитка Е -поле, ∇ → × Е → .

Теперь мы, наконец, подошли к моей проблеме. Где я ошибся в этом уравнении, потому что знак минус перед первой производной по времени означает, что упрощение этого уравнения дает:

∇ → × Е → "=" ∂ Б → ∂ т
который представляет собой закон индукции Фарадея без крайне важного знака минус, заключающего в себе закон Ленца.

Я был бы признателен за острый глаз, который может указать на мою ошибку в расчетах.

Как указано, ниже представлена ​​полная матричная форма Ф ~ мю ν :

( 0 − Б Икс − Б у − Б г Б Икс 0 Е г с − Е у с Б у − Е г с 0 Е Икс с Б г Е у с − Е Икс с 0 )

Я не проверял твои знаки, но у тебя больше проблем, ты, кажется, тоже подвел итог я в вашем длинном уравнении, так что у вас будет только одно уравнение вместо трех уравнений, по одному для каждого значения я .
@mikestone Хорошо, я упустил из виду, что изначально, хотя, поскольку все они равны нулю (то есть каждое из уравнений с разным значением i), их можно просто суммировать, и на самом деле они должны быть такими, чтобы разрешить полное векторное исчисление. форма закона Фарадея. Я что-то пропустил?
Как сказал @mike Stone, ваше длинное уравнение неверно. Вам не хватает единичных векторов... так как это векторное уравнение. Нуль или что-то другое, вы не добавляете компоненты в разных направлениях без единичных векторов. Для вашей проблемы со знаком: проверьте компоненты тензора. Насколько я понимаю, это не антисимметрично. Каков вид (недвойственного) тензора поля? Выполните трансформацию двойственности, чтобы восстановить недвойственную форму. Там знаки правильные для Ампера?
@robphy Ах да, я исправил ошибку в матрице внизу. В моих расчетах использовалась правильная версия, антисимметричная. И да, спасибо за указание на проблему с единичным вектором. Я предполагаю, что единичные векторы явно не включены в ковариантную форму уравнений. Следовательно, каждая скобка будет завитком B, усеянным соответствующим единичным вектором? Когда вы их суммируете, то получается полный завиток. Я все еще в недоумении, как решить проблему со знаком для Закона Ленца. Спасибо за помощь.
Если вы хотите, чтобы ваши проблемы со знаками были закреплены, вы должны уточнить свои соглашения о подписи и соглашения о знаках (например, с включенными исходными терминами) и явно показать, как получается каждый термин в вашем расчете. Например, что такое ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) и ( ∂ 0 Ф 01 , ∂ 1 Ф 11 , ∂ 2 Ф 21 , ∂ 3 Ф 31 ) ?(К сожалению, универсальных соглашений не существует... поэтому вам действительно следует указать свои соглашения. Без этого все, что я могу предложить, это проверка на согласованность при преобразованиях... например, получение тензора поля из вашего дуала).
Я использовал стандартную (+---) подпись. Я отредактирую вопрос с дополнительными деталями. Загляните на en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor , хотя я использую электромагнитные тензоры такие же, как и на этой странице.

Ответы (2)

Вы не ошиблись в своих расчетах.

Ну, ладно, вы допустили очевидную ошибку, попытавшись свести все воедино. Но если мы удалим эту ошибку, то вы получите (умножая на с ) что

− ∂ Б Икс ∂ т + ∂ Е у ∂ г − ∂ Е г ∂ у "=" 0.
Это совершенно верное выражение.

Единственная ваша ошибка в том, что вы неаккуратно рассуждаете о знаках минус. Фактически

∇ × Е "=" ∇ × [ Е Икс Е у Е г ] "=" [ ∂ у Е г − ∂ г Е у ∂ г Е Икс − ∂ Икс Е г ∂ Икс Е у − ∂ у Е Икс ]
так что когда мы увидим ∂ г Е у − ∂ у Е г мы должны немедленно увидеть это как − ( ∇ × Е ) Икс . Таким образом, правильное продвижение приведенного выше уравнения
− Б ˙ − ∇ × Е "=" 0
в то время как у вас был бродячий + подпишитесь в середине этих двух терминов неправильно.

я использую г мю ν для дуального тензора. Использование соглашения ( + , − , − , − )

г мю ν "=" ( 0 − Б Икс − Б у − Б г Б Икс 0 Е г / с − Е у / с Б у − Е г / с 0 Е Икс / с Б г Е у / с − Е Икс / с 0 )

У вас, кажется, есть несколько ошибок в вашем выводе. Прежде всего, в уравнении ∂ мю г мю ν "=" 0 , мы суммируем только по повторяющимся индексам, одному ковариантному и одному контравариантному. Таким образом, ν определяет четыре уравнения, а не четыре части одного уравнения. Во-вторых, у вас не должно быть единичных векторов; это уравнение полностью основано на компонентах. Далее, когда вы найдете компонент г мю ′ ν ′ , вы сначала идете в мю ′ й ряд (начиная с нуля), а затем ν ′ й столбец. Так, г 01 "=" Б Икс , нет − Б Икс . Наконец, вы перепутали завиток с отрицательным знаком: Икс компонент вектора ∇ × Е является ∂ у Е г − ∂ г Е у , нет ∂ г Е у − ∂ у Е г , как у вас. Исправление этих трех вещей дает правильный ответ. Так, например, ν "=" 1 уравнение даст

0 "=" 1 с ( ∂ Б Икс ∂ т + ∂ Е г ∂ у − ∂ Е у ∂ г ) "=" ∂ Б Икс ∂ т + ( ∇ × Е ) Икс
ν "=" 2 , 3 следует точно таким же образом. Мы можем объединить эти три уравнения в одно векторное уравнение:

Спасибо за ваш комментарий. К сожалению, я не думаю, что ваш г мю ν является правильным контравариантным дуальным ЭМ-тензором. en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor В Википедии и в моих заметках все так, как я написал? Теперь я понимаю, что ваш выводит знак минус, но, похоже, это просто возвращает вопрос к тому, как конспекты лекций и википедия могут так ошибаться (если они это сделали)? Я не уверен, что вы написали для своей матрицы (там лишний Е у кстати).
@JamieSmith А, я знаю, что пошло не так. я использую ( − , + , + , + ) соглашение для метрики Минковского, в то время как Википедия и ваши заметки используют ( + , − , − , − ) .
Я отредактировал свой ответ, чтобы лучше помочь вам. Извините за путаницу!
В чем я ошибся, выводя закон индукции Фарадея из его явно ковариантной формы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v